¿Cómo puedo resolver esta integral triple $\iiint_{B} y\;dxdydz$ en un conjunto definido?

Question

Calcular %#% $ #%

El conjunto es $$\iiint_{B} y\;dxdydz.$; $\;B={(x,y,z) \in \mathbb R^3$, $\; x^2+y^2+4z^2\le12$, $-x^2+y^2+4z^2\le6$.

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Sé que B está definido por un elipsoide real, un hiperboloide elíptico y el espacio medio positivo y, por lo que intenté utilizar el sistema de coordenadas cilíndrico pero no puedo encontrar los límites correctos de la integración. ¿Cómo puedo cambiar las ecuaciones?

Espero que me ayude. ¡Muchas gracias!

Answer 1

Nota $$B={(x,y,z)|\,\,\,({{y}^{2}}+4{{z}^{2}})-6\le {{x}^{2}}\le 12-({{y}^{2}}+4{{z}^{2}})\,\,,\,y\ge 0}$ $ configurar $ el $\left\ {\begin{align} & y=2r\,\sin \theta \ & z=r\,\cos \theta \ \end {Alinee el} \right.\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,\left| \frac{\partial (y, z)} {\partial (r, \theta)} \right|dydz=2r\,drd\theta $$ % $ de $$\iiint\limits{B}{y\,dxdydz}=4\int{0}^{\pi }{\int{0}^{\frac{\sqrt{6}}{2}}{\int{\sqrt{6-4{{r}^{2}}}}^{\sqrt{12-4{{r}^{2}}}}{{{r}^{2}}\sin \theta \,dx\,drd\theta }}}+4\int{0}^{\pi }{\int{0}^{\frac{\sqrt{6}}{2}}{\int_{-\sqrt{12-4{{r}^{2}}}}^{-\sqrt{6-4{{r}^{2}}}}{\,{{r}^{2}}\sin \theta \,dx\,drd\theta }}}$

Answer 2

Sugiero comenzar con un rectilíneo cambio de coordenadas en primer lugar. Trate de $x_{new}=2z$, $y_{new}=y$, y $z_{new}=x$. Ahora la región consiste en figuras circulares en lugar de la elíptica, y el eje central de la (ahora) circular hyperboloid es el $z$-eje, por lo que la región debe ser bastante fácil de describir en coordenadas cilíndricas. Usted tendrá que introducir el determinante Jacobiano en el integrando de manera adecuada y mirar cuál es la transformación que hace que el orden de integración, pero desde $y_{new}=y$, la parte de el integrando se tiene ya no va a cambiar con esta transformación (por supuesto, cuando usted vaya a cilíndrica, usted tendrá que volver a escribir). El resto debe ser bastante estándar cuestión de convertir a la cilíndrica y la evaluación de la integral triple.