Estimación de $\pi$ el uso de dados

Question

Me han preguntado en un Quant entrevista para estimar el valor de $\pi$ el uso de dados. No sé ni cómo empezar. Cualquier ayuda se agradece.

Gracias.

Answer 1

Cada tirada de dados genera $2.58$ bits de entropía, y una secuencia de morir de los rollos puede generar un uniformemente distribuidos al azar un número real en $[0,1]$ a cualquier nivel deseado de precisión. (Por ejemplo, considere la posibilidad de morir en rollos para ser una secuencia de base de 6 dígitos, donde un rollo de 6 representa un 0 dígitos.)

Generar dos números aleatorios, $x$$y$, añadiendo dígitos a cada uno hasta que hay suficiente cantidad de dígitos en ambos números para establecer con certeza si $x^2+y^2 < 1$ o $x^2+y^2>1$. (La igualdad se produce con una probabilidad de $0$ y puede ser ignorada.) Si $x^2+y^2<1$, agregar una cuenta a la "in" en la columna; de lo contrario agregar una cuenta a la "salida" de la columna.

Después de generar un $n = \mbox{in}+\mbox{out}$ tales pares, y así acumular un total de $n$ cuentas, tenemos $$\pi\approx 4\frac{\mbox{in}}{\mbox{in}+\mbox{out}}.$$

The idea here is that $x$ and $y$ determine a random point in the square $[0,1]^2$ that is uniformly distributed. The area of the quarter-circular region $x^2+y^2<1$ is $\frac\pi4$, and so a uniformly selected point in the square will lie in that region with probability $\frac\pi4$.

Answer 2

Deje $N$ el número de dados lanzados al azar sobre un cuadrado de área $R\times R$. El círculo más grande que ha inscrito área de $\pi R^2/4$. Deje $N=R\times R$. El número de dardos que caen dentro del círculo es el área del círculo: $N_{in}=\pi R^2/4$, es decir, $$\pi=\dfrac{4N_{in}}{N}$$ Editar Lo que hice parece casi en paralelo a http://www.cs.cornell.edu/courses/cs100j/2004sp/Notes/h0506.pdfy por lo tanto voy a citar aquí como referencia.

Answer 3

Supongamos que el morir es un cubo de 1 pulgada. Dibujan un montón de líneas paralelas espaciadas 1-pulgada de distancia. Cuando se lanza un dado en este campo de las líneas, siempre va a cruzar una línea (a pesar de que no es "imposible" derecho a la tierra entre dos líneas es $0$ de probabilidad de que lo hará.) A veces, la suerte se cruza de dos líneas.

Usted puede calcular la probabilidad teórica de que cruce de dos líneas, y que involucra $\pi$. A continuación, puedes tirar el dado y obtener un empírica de la probabilidad. Conjunto de las dos cosas iguales, resolver por $\pi$, y tiene una aproximación.

Esto se parece mucho a la famosa aguja del problema, donde puedes ver una cara de la diagonal de la matriz como de la aguja.

Para calcular la probabilidad teórica, nosotros sólo nos preocupamos de que el centro de masa de la mordaza de tierras a lo largo de una línea ortogonal a las líneas que hemos esbozado, y el ángulo que forma la cara en diagonal hacer con las líneas de dibujo. En el epression en adelante, el "$2$" y "$8$" aprovechar la simetría para hacer la integral más fácil de escribir. La probabilidad es$$\frac{2\cdot\int_{y={1-\sqrt{2}/2}}^{y=1/2}8\cdot\int_{\theta=\arcsin\left(\frac{1-y}{\sqrt{2}/2}\right)}^{\theta=\pi/2}\,d\theta\,dy}{\int_{y=0}^{y=1}\int_{\theta=0}^{\theta=2\pi}\,d\theta\,dy}$$, que se simplifica a

$$\frac{4}{\pi}-1$$

Así que finalmente, después de bastante morir a tiros, se $0.2732...$ de ellos se han cruzado dos líneas. La adición de $1$ a esto, dividiendo por $4$, y la inversión le dará una estimación de $\pi$.

Si quieres saber cuántos tiros llevará hasta puede ser razonablemente seguro de que va a tener $\pi$ correcto a tres dígitos, que es casi lo mismo que llegar empírica de la probabilidad de tener un error menor que $0.001$. Suponiendo que no sabemos decimal para $\frac{4}{\pi}-1$, es de suponer el peor de los casos: que esto es $0.5$. En ese caso, para tener un error de bajo $0.001$ $95\%$ de certeza, que nos iba a solucionar $$0.001=1.96\sqrt{\frac{0.5\cdot0.5}{n}}$$ and you'd need over $960{,}000$ tosses. I'd be surprised if any of the dice-based methods for approximating $\pi$ son notablemente más rápido que este.

Answer 4

Usted puede hacer uso de la geometría simple como alguien dijo. Tome un cuadrado de lados R y cortar en pequeños equalsized plazas, preferiblemente el tamaño de los dados. Por lo que es recomendable que R es un múltiplo de la longitud de un lado de los dados. A continuación, pegar los cuadrados al azar en un círculo de radio R, sin ningún tipo de superposición. Cuando usted lanza los dados en el círculo, contar el número de veces que al menos la mitad de el dado cae en una plaza. Ahora el número total de lanzamientos dividido por el número de tiros de aterrizaje en un cuadrado debe darle pi.

Answer 5

Área de la superficie de una esfera = $4\pi r^2$. Área de la superficie de un molde = $24r^2$. Por lo tanto,$\pi = 6$.

O: el Volumen de una esfera = $\frac43 \pi r^3$. El volumen de un troquel = $8r^3$. Por lo tanto,$\pi=6$.

Parece impermeable a mí.