% Aritmética ordinal $3+\omega^2 = \omega^2$

Question

Cuál de las siguientes igualdades es falsa:
un) $2\cdot \omega = 3\cdot\omega$
b) $3+\omega+\omega^2 = \omega+3+\omega^2$
c) $\omega^2 + 3 = 3+\omega^2$
d) $12\cdot(5+\omega)=60 \cdot\omega$

Creo que el mal es c):
En una) y d) ambos lados son $\omega$. Y b) encontré que:
puede considerarse $\omega^2$ ${0,1,2,\dots,\omega,\omega+1,\dots,\omega\cdot 2,\omega\cdot 2+1,\omega\cdot 2+2,\dots,\omega\cdot 3, \omega\cdot 3+1,\dots}$.
Así en b) LHS tenemos $3+\omega = \omega$ y RHS $3+\omega^2=\omega^2$.
Pero en c) obtenemos $\omega^2+3\not=\omega^2$.

¿Es eso correcto?

Answer 1

En c) se han límite ordinal en un lado de la ecuación y sin límite en el otro lado. El ordinal suma $\alpha+\beta$ es el límite, si y sólo si $\beta$ es el límite. Lo mismo es cierto para los no-limit (sucesor) ordinales.

Así que si te han dicho que exactamente uno de ellos es incorrecta, este debe ser el uno.

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Los demás cálculos se han dado parece ser correcta.

a) ha $n\cdot \omega=\omega$ por cada $n<\omega$. (Esto se puede visualizar de la siguiente manera: Si se sustituye la habitual en el orden de $\omega=\{0,1,2,3,\dots\}$ cada número por un número finito de copias, podemos obtener una orden-isomorfo set).

b) estás en lo correcto en decir que el $3+\omega=\omega$$3+\omega^2=\omega^2$. Entonces usted tiene $\omega+\omega^2$ en ambos lados. Esto puede ser aún más simplificada $\omega+\omega^2=1\cdot\omega+\omega\cdot \omega=(1+\omega)\cdot\omega=\omega\cdot\omega=\omega^2$.

d) $5+\omega=\omega$; de manera que usted obtenga $12\cdot\omega=60\cdot\omega=\omega$ por las mismas razones que en una).