Digamos que sabemos que existe la transformada de Fourier de la función $f(x)$, lo que significa que: $$\int^{\infty}{-\infty}|f(x)|dxhace un absolutamente integrable función tienden a $0$ como su argumento tiende a Infinity?). Así que no puedo ver ¿por qué el valor de $$[fe^{-ikx}]^{\infty}{-\infty}=0$ $ por favor puede alguien explicar?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
PhoemueX
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Para justificar la integración parcial, basta disponer de secuencias de $(x_n)_n, (y_n)_n $ $x_n\to\infty $ $y_n \to -\infty $ $f\cdot e^{ikx}\bigg |_{y_n}^{x_n} \to 0$ (żpor qué?).
La existencia de estas secuencias puede ser muestra de la siguiente manera: Tenemos $$ \infty > \int |f (x)|\,dx = \sum_{n \in \Bbb {Z} } \int_{(n,n+1)} |f(x)|\,dx =\sum_n \int_0^1 |f (x+n)|\,dx =\int_0^1 \sum_n |f (x+n)|\,dx. $$ Los pasos anteriores pueden ser justificados mediante la monotonía de convergencia.
Ahora, una función con la integral de tiempo finito es finito en casi todas partes, de manera que obtenemos $$ \sum_{n \in\Bbb {Z}} |f (x+n)|<\infty $$ para casi todos los $x \in (0,1) $. Dado que los términos de una serie convergente son nulos de la secuencia, esto implica la existencia de las secuencias.
