Una función $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ con norma infinita pero seminorma débil finita

Question

Dejemos que $0<q\leq p<\infty$ . Para $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ definimos la norma

\begin {Edición} |f\\|_{p,q}= \sup_ {a \in \mathbb {R},r>0} r^{ \frac {1}{p}} \left ( \frac {1}{r} \int_ {a-r}^{a+r} |f(x)|^q \N dx \right )^{1/q} \end {Ecuación}

y la seminorma

\begin {Ecuación} [[f ]]_{p,q}= \sup_ {a \in \mathbb {R},r>0} r^{ \frac {1}{p}- \frac {1}{q}} \sup_ { \gamma >0} \gamma m \left (\{x \in (a-r,a+r): |f(x)|> \gamma\ } \right ) \end {ecuación} donde $m$ es la medida de Lebesgue en $\mathbb{R}$ .

Obsérvese que si $f$ es la función delta de Dirac, entonces $\|f\|_{p,q}=\infty$ y $[[f]]_{p,q}=0$ . Pero $f$ es una distribución.

¿Podríamos encontrar una función $f$ tal que $\|f\|_{p,q}=\infty$ y $[[f]]_{p,q}<\infty$ ?

Gracias.

Answer 1

Para cada par $(p,q)$ con $1< q\le p<\infty$ existe tal función.

A saber, $f(x)=|x|^{-\alpha}$ con $\alpha = 1+p^{-1}-q^{-1} \in (0,1]$ .

Desde $f$ es simétricamente decreciente a partir de $0$ basta con considerar $a=0$ en la definición de seminorma anterior: desplazar el intervalo a $0$ aumentará la cantidad bajo el supremum. El conjunto donde $|f|>\gamma$ es simplemente $|x|<\gamma^{-1/\alpha}$ . Así que estamos viendo $$2\sup_{r>0} r^{\frac{1}{p}-\frac{1}{q}} \sup_{\gamma>0} \min(\gamma r,\gamma^{1-1/\alpha})$$ En función de $\gamma$ , $\min(\gamma r,\gamma^{1-1/\alpha})$ primero sube (cuando la menor de las dos cosas es $\gamma r$ ) y luego no crece, porque $1-1/\alpha \le 0$ . Así, su máximo se alcanza cuando $\gamma r =\gamma^{1-1/\alpha}$ Es decir, $\gamma = r^{-\alpha}$ . La seminorma es $$2\sup_{r>0} r^{\frac{1}{p}-\frac{1}{q} +1 - \alpha} =2$$

Por otro lado, $$\left(\frac{1}{r} \int_{-r}^{r} |x|^{-\alpha q} \ dx \right)^{1/q} \tag{1}$$ es $\infty$ cuando $\alpha q\ge 1$ o es un múltiplo constante de $r^{-\alpha}$ de lo contrario. En el primer caso hemos terminado, en el segundo
$$\|f\|_{p,q}= C \sup_{r>0} r^{\frac{1}{p}-\alpha} =C \sup_{r>0} r^{\frac{1}{q}-1} \tag{2}$$ Desde $1/q-1<0$ el supremum es infinito.

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En general, el ejemplo funciona cuando
$$q>\frac{p}{p+1} \text{ and } q\ne 1$$ (el primero asegura $\alpha>0$ , la segunda que (2) es infinita). También funciona cuando $p=q=1$ porque entonces $\alpha=1$ , lo que hace que (1) sea infinito.