Integral de funciones racionales.

Question

Quiero evaluar esta integral:

PS

El libro solo dice que se integre por partes$$\int{\frac{ax+b}{(x^2+2px+q)^n}}dx$, por simplicidad si$\int{\dfrac{1}{(x^2+2px+q)^{n-1}}dx}$yo obtengo:$n = 2$.

Ahora no sé qué hacer.

Answer 1

1.para el integrand$\dfrac{1}{x^2+2px+q}$ completa el cuadrado para obtener
$\frac{1}{\dfrac{1}{4}(4q-4p)^2+(p+x)^2}$

2. entonces sustituya$u=p+x$

3.factor fuera$\dfrac{1}{4}(4q-4p)^2$

La integral reducida a simple función trigonométrica.

Answer 2

Para responder a su pregunta específica, he aquí un truco que va a funcionar. Tenga en cuenta que $$2x^2+2px=(2x^2+4px+2q)-2px-2q=(2x^2+4px +2q)-p(2x+2p)-2q+2p^2.$$ De ello se sigue que $$\int \frac{dx}{x^2+2px+q}=\frac{x}{x^2+2px+q} +2\int \frac{x^2+2px+q}{(x^2+2px+q)^2}\,dx -p\int \frac{2x+2p}{(x^2+2px+q)^2}\,dx+ (2p^2-2q)\int \frac{dx}{(x^2+2px+q)^2}.$$ A la derecha, la primera integral es simplemente la integral de la izquierda. La segunda integral de los rendimientos a la sustitución de $u=x^2+2px+q$. Y la tercera integral es la que hemos querido evaluar. Así podemos expresar $\int \frac{dx}{(x^2+2px+q)^2}$ en términos de $\int \frac{dx}{x^2+px+q}$ , excepto en el caso de $p^2=q$. Pero en ese caso $(x^2+2px+q=(x+p)^2$, y la integración es fácil, sin pasar a través de la integración por partes.

Habría sido más fácil hacer la inmediata sustitución de $x+p=y$, pero quería continuar desde el punto en el que había llegado.

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Lo que sigue es el comienzo de mucho más respuesta que yo había escrito. La fórmula de reducción consiguió desagradable para trabajar, así que a continuación es sólo el comienzo de la respuesta.

Tenemos $ax+b=\frac{a}{2}(2x+2p)+ b-ap$. Así que nuestra integral es $$\frac{a}{2}\int \frac{2x+2p}{(x^2+2px+q)^n}\,dx+ (b-ap)\int \frac{dx}{(x^2+2px+q)^n}.\tag{$1$}$$ La primera integral en $(1)$ se encuentra realizando la sustitución de $u=x^2+2px+q$. Así que estamos en la integración de una alimentación de $u$, fácil.

La segunda integral en $(1)$ no es tan fácil! Utilizamos, repetidamente si es necesario, una Fórmula de Reducción (que se discute en detalle en la Wikipedia).

Para cualquier entero positivo $n$, vamos $$I_n=\int \frac{dx}{(x^2+2x+q)^n}.$$ Nos muestran cómo encontrar una expresión general para $I_n$ en términos de $I_{n-1}$. Por lo tanto, si empezamos con, por ejemplo,$n=3$, expresamos $I_3$ en términos de$I_2$, $I_2$ en términos de $I_1$.

Finalmente, $I_1$ se divide en los casos. Completar el cuadrado para obtener $x^2+2px+q=(x+p)^2+q-p^2$. Si $q-p^2=0$, tuvimos una fácil integral, para empezar, y la Fórmula de Reducción era una pérdida de tiempo. Si $q-p^2\gt 0$, una sustitución nos trae a $\int \frac{1}{u^2+1}$. Si $q-p^2\lt 0$, el uso parcial de las fracciones.

Ahora podemos comenzar la reducción. Como en lo que usted hizo, usamos la integración por partes. Es más fácil para mí para ir hacia atrás. Así que calculamos $I_{n-1}$ usando integración por partes. Deje $n\ge 2$. Tenemos $$I_{n-1}=\int \frac{dx}{(x^2+2px+q)^{n-1}}.$$ Deje $u=\frac{1}{(x^2+2px+q)^{n-1}}$ y deje $dv=dx$. A continuación, $du=-\frac{(n-1)(2x+2p)}{(x^2+2px+q)^n}$ y podemos tomar $v=x$. Así $$I_{n-1}= \frac{x}{(x^2+2px+q)^{n-1}}+(n-1)\int \frac{2x^2+2px}{(x^2+2px+q)^{n}}\,dx.$$ Para terminar, usar el mismo truco que en el inicio del post. Sin embargo, usted encontrará el cálculo mucho más agradable con el anteproyecto de cambio de variable $y=x+p$.

Answer 3

Descripción General. Una fracción parcial de la forma $$\dfrac{Bx+C}{\left[ \left( x-r\right) ^{2}+s^{2}\right] ^{n}}$$ is integrable by substitution, using the change of variables $x=r+st$. Con este método una integral de la forma

$$\displaystyle\int \frac{Bx+C}{\left[\left( x-r\right) ^{2}+s^{2}\right] ^{n}}dx\tag{1}$$

se transforma en una integral de la forma

$$\displaystyle\int \frac{Dt+E}{(t^{2}+1)^{n}}dt=D\int \frac{t}{(t^{2}+1)^{n}} dt+E\int \frac{1}{(t^{2}+1)^{n}}dt\etiqueta{2}.$$

La primera integral es una tabla de integrales. El segundo satisface la recurrencia de la relación.

Aplicación de la integral dada. Reescribir el integrando como $\dfrac{ax+b}{\left[(x+p)^{2}+q-p^{2}\right]^{n}}$ y hacer la sustitución $$\begin{equation*} x=-p+\sqrt{q-p^{2}}\, t.\tag{3} \end{ecuación*}$$ Entonces $$\begin{eqnarray*} I &=&\int \frac{ax+b}{(x^{2}+2px+q)^{n}}dx=\int \frac{ax+b}{ \left[(x+p)^{2}+q-p^{2}\right]^{n}}dx, \tag{4}\\ && \\ \\ M &=&a\sqrt{q-p^{2}},\quad N=b-ap,\quad K=\frac{\sqrt{q-p^{2}}}{\left( q-p^{2}\right) ^{n}} \\ \\ && \\ I &=&K\int \frac{M}{(t^{2}+1)^{n}}t+\frac{N}{(t^{2}+1)^{n}}dt, \\ &=&KM\int \frac{1}{(t^{2}+1)^{n}}tdt+KN\int \frac{1}{(t^{2}+1)^{n}}dt \\ &=&-\frac{KM}{2(n-1)}\frac{1}{(t^{2}+1)^{n-1}}+KN\int \frac{1}{(t^{2}+1)^{n}} dt.\tag{5} \end{eqnarray*}$$ La última integral se puede dividir en dos, siendo este último el integrables por las piezas que genera la relación recursiva $(6)$ abajo. Para $n\ne 1$, tenemos: $$\begin{eqnarray*}I_n&=& \int \frac{1}{(t^{2}+1)^{n}}dt =\int \frac{1+t^{2}-t^{2}}{(t^{2}+1)^{n}} dt\\ &=&\int \frac{1}{(t^{2}+1)^{n-1}}dt-\int \frac{t^{2}}{(t^{2}+1)^{n}}dt \\ &=&\int \frac{1}{(t^{2}+1)^{n-1}}dt+\frac{t}{2(n-1)\left( t^{2}+1\right) ^{n-1}} \\ &\qquad - &\frac{1}{2(n-1)}\int \frac{1}{\left( t^{2}+1\right) ^{n-1}}\,dt \\ &=&\frac{t}{2(n-1)\left( t^{2}+1\right) ^{n-1}}+\frac{2n-3}{2(n-1)}\int \frac{1}{\left( t^{2}+1\right) ^{n-1}}\,dt\\ &=&\frac{t}{2(n-1)\left( t^{2}+1\right) ^{n-1}}+\frac{2n-3}{2(n-1)}I_{n-1}.\tag{6} \end{eqnarray*}$$

Para $n=1$ $$I_1=\int \frac{1}{t^{2}+1}dt=\arctan t+\text{Constante}.\la etiqueta{7}$$

AÑADIDO. Para el caso particular $n=2$, se obtiene a partir de a $(6),(7)$ $$\begin{eqnarray*} I_2=\int \frac{1}{(t^{2}+1)^{2}}dt &=&\frac{1}{2}\frac{t}{t^{2}+1}+\frac{1}{2}I_1 \\ &=&\frac{1}{2}\frac{t}{t^{2}+1}+\frac{1}{2}\arctan t+\text{Constant}.\tag{6%#%#%} \end{eqnarray*}$$

y de $\mathrm{a}$

$$\begin{eqnarray*} I &=&\int \frac{ax+b}{(x^{2}+2px+q)^{2}}dx \\ &=&-\frac{a}{2}\frac{1}{x^{2}+2px+q}+\frac{b-ap}{2\left( q-p^{2}\right) } \frac{x+p}{q+x^{2}+2xp}\\ &+& \frac{b-ap}{2\left( q-p^{2}\right) ^{3/2}}\arctan \frac{x+p}{\sqrt{q-p^{2}}}+\text{Constant}. \end{eqnarray*}\etiqueta{5$(5)$}$$

Establecimiento $\mathrm{a}$ $a=0,b=1$ evaluamos su última integral para $(5\mathrm{a})$:

$$\boxed{\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{(x^{2}+2px+q)^{2}}dx&=&\frac{1}{2\left( q-p^{2}\right) }\frac{x+p}{x^{2}+2px+q}\\&+&\frac{1}{2\left( q-p^{2}\right) ^{3/2}}\arctan \frac{x+p}{\sqrt{q-p^{2}}}+\text{Constant}. \end{eqnarray*}}$$ $q>p^2$\mathrm{b}$$\tag{5$$