Revertir la serie de Taylor

Question

Casi todo el mundo está familiarizado con la famosa Serie de Taylor:

$ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n $

que, si converge en más de un punto, se reunirán en un intervalo alrededor de a $a$. Alguien ha considerado el "Reverso" de la Serie de Taylor:

$ g(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(x-a)}{n!} a^n $

Yo lo llamo la inversa, porque es lo que usted consigue para tomar simbólicamente $a \rightarrow (x-a)$. Usted podría estar diciendo que no hay absolutamente ninguna razón para creer que esta serie debería converger a $f(x)$, pero hay dos ejemplos en los que lo hace.

Para $e^x$:

$g(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{e^{(x-a)}}{n!} a^n = \frac{e^x}{e^a} \sum_{n=0}^\infty \frac{a^n}{n!} = e^x $

Para $x^k$:

$g(x) = \sum_{n=0}^k \frac{k(k-1)...(k-n+1)(x-a)^{k-n} a^n}{n!} = \sum_{n=0}^k {k \choose n} (x-a)^{k-n} a^n = ((x-a) + a)^k $

Todavía tengo que encontrar un contra-ejemplo para cuando la Inversa en Series de Taylor de no dar la espalda a la función original para una analítica de la función, y yo también todavía tienen que pensar en una forma de demostrar que la Inversa de Series de Taylor deben converger para una función dada. ¿Alguien tiene alguna idea?

Answer 1

Sus dos series son la misma cosa pointwise cuando convergen. $g(x)$ es la serie de Taylor para $f$ se expandió alrededor del punto de $x-a$. Por lo que se reunirán tan largo como la serie de Taylor para $f$ $x-a$ tiene un radio de convergencia al menos $a$.

Sin embargo, en $f(x)$, moviendo $x$ alrededor puede hacer que la serie de Taylor no convergen debido a su $x$ que se mueve fuera de la radio de convergencia. Mientras que en $g(x)$, moviendo $x$ alrededor para hacer la serie no converge debido al mover el punto de $x - a$ a algún lugar con un radio de convergencia menor que $a$. Es decir, una vez fix $a$, en la serie de Taylor para $f$$a$, el radio de convergencia es fijo, independiente de $x$. Pero en la serie $g(x)$, la convergencia de la serie depende de cómo el radio de convergencia en $x-a$ (que depende de la $x$) se compara con $a$. De modo que la función de $g(x)$ converge en más de un punto es insuficiente para garantizar que la $g(x)$ converge en un pequeño intervalo de alrededor de $a$.

Answer 2

La idea general:

Poner $y=x-a$. Entonces, $$ g (x) = \sum\limits_{n = 0} ^ \infty {\frac{{f^{(n)} (y)}} {{n!}} (x-y) ^ n} = f (x). $$