¿Qué funciones reales tienen sus derivadas superiores con tendencia puntual a cero?

Question

Sea $\mathrm C^\infty\!(\Bbb R)$ sea el espacio de las funciones infinitamente diferenciables $f:\Bbb R\rightarrow\Bbb R$ y definir el subespacio $$A:=\{f\in\mathrm C^\infty\!(\Bbb R):(\forall x\in \Bbb R)\lim_{n\rightarrow\infty} f^{(n)}(x)=0\},$$ donde $f^{(n)}$ es el $n$ derivada de $f\;(n=0,1,\dots).$ Es evidente que todas las funciones polinómicas están en $A$ . ¿Hay otros?

Edita: Alfonso ha respondido bien a esta pregunta, pero ¿hay alguna caracterización de $A$ en términos de tipos de función conocidos?

Answer 1

Consideremos una función analítica $$\tag0f(x)=\sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{n!}x^n.$$ En $f^{(n)}(0)=a_n$ , a necesario condición para tal $f$ para ser un ejemplo es que $a_n\to 0$ .

Pero $a_n\to 0$ es también suficiente . De hecho, con $b_n:=\sup_{k\ge n} |a_k|$ tenemos $b_n\to 0$ y por lo tanto $$\begin{align}|f^{(n)}(x)|&= \left|\sum_{k=0}^\infty \frac{a_{n+k}}{k!}x^k\right|\\ &\le\sum_{k=0}^\infty\frac{|a_{n+k}|}{k!}|x|^k\\ &\le b_n\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{k!}|x|^k\\&=b_ne^{|x|}\to 0. \end{align} $$ (Tenga en cuenta que el cálculo para $f^{(0)}(x)$ muestra que $f$ está entera para empezar).

Answer 2

$$f(x)=e^{x/2}$$ $$f^{(n)}(x)=2^{-n}e^{x/2}$$

Answer 3

Otro ejemplo sería la función recíproca:

$$f(x)=\frac{1}{x}$$

$$\frac{d^n}{dx^n}\frac{1}{x}=(-1)^n\frac{n!}{x^n}$$

Por extensión, $\ln(x)$ es otro ejemplo, porque $\frac{d}{dx}\ln(x)=\frac{1}{x}$