De cualquier 52 enteros, dos pueden encontrar cuya diferencia de cuadrados es divisible por 100

Question

Demostrar que cualquier 52 enteros, dos siempre se pueden encontrar que la diferencia de sus cuadrados es divisible por 100.

Estaba pensando acerca del uso de la repetición, pero parece que casillero también puede funcionar. No sé dónde empezar.

Answer 1

Mira tu $52$ enteros mod $100$. Observe los pares de inversos aditivos $(0,0)$, $(1.99)$, (2,98), etc.. Hay $51$ dichos pares. Puesto que tenemos enteros de $de$52, dos de ellos deben pertenecer a un par $(x,-x)$. Entonces $x ^ 2 - (-x) ^ 2 = \pmod{100}$ 0, de modo que la diferencia de sus cuadrados es divisible por 100 $$.

Answer 2

Sólo 23 de los números necesarios. No son sólo $22$ plazas mod $100$, tan si usted tiene $23$ enteros, dos debe ser el rendimiento de la misma plaza mod $100$. Es decir, debe tener dos valores diferentes, de $a$ y $b$, $a^2 \equiv b^2 \pmod {100}$. Por lo tanto, $100$ divide a $a^2-b^2$.

Aquí están los $22$ plazas : $$0,1,4,9,16,21,24,25,29,36,41,44,49,56,61,64,69,76,81,84,89,96.$$

Añadido: tenga en cuenta que ya hay $22$ plazas mod $100$, podemos crear conjuntos de $22$ enteros para los cuales no hay ningún par con la propiedad de que la diferencia de sus cuadrados es divisible por $100$. Por lo tanto, los $23$ aquí es lo mejor posible.

Answer 3

Cada plaza es congruente a 0 o $1$ modulo $de$4. Además, hay plazas distintas de $11$ modulo $de$25. Por el Teorema chino del resto, hay solamente $2\cdot11 = 22 plazas distintas$ modulo $de$100. Tan el 52 en el problema puede mejorarse a partir de 23 $$.

Answer 4

26 números enteros, por principio de casillero usted tiene por lo menos dos cuya diferencia es igual a cero cuando se divide por 25. En 52 enteros tiene al menos 3 dichos enteros. Escoger los tres números enteros. Otra vez, por casillero, dos de ellas tienen la misma paridad. Sean $a$ y $b$. Así $2| (a + b)$ y $2| (a-b)$ como tal $4| (a + b) (a-b)$. Desde 25| (a + b) (a-b) también y 4 y 25 son relativamente privilegiada tienes $100| (a ^ 2-b ^ 2)$.

Answer 5

Mira a tu $52 dólares enteros de$\mod 100$. Así, la diferencia de sus cuadrados resultantes de la división por$100$puede ser dada por$a^2=b^2(\mod 100) dólares. Esta será resuelta en el producto de la diferencia de los números y la suma de los números es divisible por $100$. desde entonces, ninguna de $52$ números enteros, se preguntó, no puede haber ninguna solución óptima respuesta para esto.

Por ejemplo:- Mira a los pares de inversos aditivos $(0,100)$, $(1,99)$, $(2,98)$, etc. Hay $51$ pares. Ya tenemos un total de $52$ enteros, dos de ellos debe pertenecer a un par $(a,−a)$. Entonces $a^2-(−a)^2=0(\mod 100) dólares, por lo que la diferencia de sus cuadrados es divisible por$100$. Del mismo modo, desde la plaza de los$10$es$100$, por lo que todos los pares de enteros con una diferencia de varios de los$10$y los números cuya aditivo de los números viene resultando en$\mod 10$le acaban en la diferencia de los cuadrados es divisible por$100$. Por ejemplo:$(0,10)$,$(10,20)$,$(20,30)$,... etc. Del mismo modo, la suma es múltiplo de$20 dólares y la diferencia es múltiplo de $5$ producirá el mismo resultado. así, esta hipótesis queda demostrado.

Pero el siguiente análisis puede ser mejorado aún más por el teorema del resto Chino. Hay $11$ distintas plazas modulo $25$. Por el teorema del resto Chino, no son sólo $2\cdot 11=22$ distintas plazas modulo $100$. Así que los $52$ en el problema puede ser mejorado a $23$. desde entonces, la plaza de de $0$'s en la unidad de lugar, terminando en $0$ asimismo $1$ $1$, $2$ $4$, $3$ en $9$, $4$ en $6$, $5$ en $5$, $6$ en $6$, $7$ en $9$, $8$ en $4$, $9$ en $1$. Así, cada plaza es congruente $0$ o $1$ o modulo $4$. así, no son sólo $23$ enteros, de los cuales dos de los números enteros se dibuja el resultado de que la diferencia de sus cuadrados es divisible por $100$.