Distintos ceros de polinomios en $5$-adics.

Question

<blockquote> <p>¿Cuántos ceros distintos tiene cada uno de los siguientes polinomios en $\mathbb{Z}_5$?</p> <ol> <li>$f(x) = x^3 + 5x + 5$;</li> <li>$g(x) = x^5 + 2$;</li> <li>$h(x, y) = x^2 + y^2$.</li> </ol> </blockquote> <p>Sé cómo hacer los dos primeros, pero estoy atrapado en la tercera parte; parece que los mismos trucos no funcionan. ¿Alguien me puede dar una pista?</p>

Answer 1

Como usted ha dicho, tenemos que usar un truco completamente diferente de 1 y 2. Si pensamos en la ecuación de $\mathbb{C}$, entonces sabemos que that$$x^2 + y^2 = (x + \sqrt{-1}y)(x-\sqrt{-1}y).$$Next, as we know that $\sqrt{-1}$ is in $\mathbb{Z}_5$ (use Hensel's lemma with $2^2 = - 5\text{)}$), then we know that in $\mathbb{Z}_5$ this factorization also exists. Hence, given any nonzero $x$ in $\mathbb{Z}_5$, I can give you two different $y$ in $\mathbb{Z}_5$ such that $x^2 {(mod} 1\text + y ^ 2 = 0 $, while if $x = 0 $, then we have $y = 0$.

Answer 2

Por lema de Hensel, existe un $i \in \Bbb{Z}_5$ tal que $i^2+1=0$.

Factorizar $$x^2+y^2 = (x+iy)(x-iy)$ $ para darse cuenta de que todos los pares ${ (a, ia) : a \in \Bbb{Z}_5 }$ raíces de $x^2+y^2$ (por lo que son infinitamente muchos).