Si $A$ y $B$ son matrices semidefinidas positivas, entonces es $(A+B)^{2}$ ?

Question

Tengo una pregunta: Si $A$ y $B$ son $n\times n$ matrices semidefinidas positivas, ¿por qué se deduce que $(A+B)^{2}$ es semidefinida positiva?

Sé que para demostrar que $(A+B)^{2}$ es semidefinida positiva, necesito demostrar que los valores propios de $(A+B)^{2}$ son no negativos, pero no sé cómo sobre esto.

Answer 1

La respuesta es : Depende.

Existen dos definiciones comunes de semidefinición positiva.

Definición 1 : $\newcommand{\m}{\mathbf}\newcommand{\A}{\m A}\newcommand{\B}{\m B}\newcommand{\x}{\m x} \A \in M_n(\mathbb R)$ es semidefinido positivo si y sólo si para todo $\x \in \mathbb R^n$ tenemos $\x^T \A \x \geq 0$ .

Definición 2 : Igual que la definición 1, con la adicional requisito de que $\A$ sea simétrica.

Empecemos por la segunda definición, que puede ser la más comúnmente asumida. En este caso, el resultado declarado es verdadero y se deduce fácilmente de las definiciones. En particular, $$ \x^T(\A + \B)\x = \x^T \A \x + \x^T \B \x \geq 0 \>, $$ ya que los dos términos del medio son no negativos. Además, si $\A$ y $\B$ son ambos simétricos, entonces también lo es $\A + \B$ . Por lo tanto, $$ \x^T (\A + \B)^2 \x = \x^T (\A+\B)^T (\A+\B) \x = \|(\A+\B) \x\|_2^2 \geq 0 \>. $$

Veamos la primera definición. Si eliminamos la suposición de que $\A$ y $\B$ son simétricas, entonces el resultado planteado en la pregunta es falso .

Por supuesto, sigue siendo cierto que $\A+\B$ es semidefinida positiva (se aplica la misma prueba anterior), pero $(\A+\B)^2$ puede no serlo.

Contraejemplo : Basta con considerar una única matriz $\A$ con $\B = 0$ . Toma $$\A = \left(\begin{array}{rr} 1 & -2 \\ 0 & 1\end{array}\right) \>.$$ Entonces, si $\x = (x_i)$ , $$ \x^T \A \x = x_1^2 - 2 x_1 x_2 + x_2^2 = (x_1 - x_2)^2 \geq 0 \>. $$ Así que.., $\A$ es semidefinida positiva. Sin embargo, $$ \A^2 = \left(\begin{array}{rr} 1 & -4 \\ 0 & 1\end{array}\right) \>, $$ que claramente no es semidefinida positiva; para verlo, basta con tomar $\x$ sea un vector de unos.

Answer 2

Primero demuestre que la suma de semidefinidos positivos es semidefinida positiva, y luego demuestre que el cuadrado de semidefinidos positivos es semidefinida positiva.

Añadido en edición Aquí está la prueba.

Recordemos que una matriz $A$ es semidefinida positiva si $z^TAz\geq0$ para todos $z\in\mathbb{R}^n$ . Por lo tanto, si $A,B$ son semidefinidas positivas y $z\in\mathbb{R}^n$ entonces $$ z^T(A+B)z=z^TAz+z^TBz\geq0, $$ así que $A+B$ es semidefinida positiva.

Y para el cuadrado de la semidefinida positiva, basta con demostrar que el cuadrado de una matriz simétrica es semidefinida positiva. En efecto, $$ z^TA^2z=z^TA^TAz=(Az)^T(Az)=\|Az\|^2\geq0. $$