Isometría lineal entre $c_0$y $c$

Question

La pregunta siguiente es un ejercicio y lo estoy buscando consejos y no por las respuestas, si es posible.

Tengo los siguientes conjuntos en $l^\infty$ $$c_0 := \{x_n \in l^\infty: \lim x_n = 0\} \subseteq c := \{x_n \in l^\infty: \exists \lim x_n\}.$$ Y tengo la intención de demostrar que no son isométricamente isomorfos. Supongo que el problema es que por cada $(x_n) \in c_0$ existe un número finito y no vacío $\{x_{n_i}\}$ tal que $|x_{n_i}| = \|x_n\|$ pero esto es falso en $c$, pero no sé cómo continuar con esta idea. Me pueden ayudar?

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Un hecho interesante acerca de estos dos espacios es que a pesar de que no son linealmente isométricos son linealmente homeomórficos dado por $T:c \to c_0, T(x_n) = (\lim x_n, x_n-\lim x_n)$. Esto es demasiado extraño para mí.

Answer 1

Sugerencias:

1) demuestra eso bola de la unidad de $c$ tienen un montón de puntos extremos. De hecho hay puntos extremos de la $\mathfrak{c}$ pero esto no es importante para la solución.

2) demuestra eso bola de la unidad de $c_0$ no tienen ningún puntos extremos.

3) demostrar que si $x$ es un punto extereme de bola de la unidad de un espacio normado $X$ y $i:X\to Y$ es una isometría, entonces un punto extremo de la bola de la unidad de $i(x)$ $Y$.

4) el resto es claro.