conjunto de soluciones para congruencia$x^2 \equiv 1 \mod m$

Question

si$m$ es un número entero mayor que 2, y existe un módulo de raíz primitivo$m$, pruebe que las únicas soluciones incongruentes de$x^2 \equiv 1 \mod m$ son$x \equiv \pm 1 \mod m$.

Sé que si existe un mod de raíz primitivo$m$, entonces$m = 1, 2, 4, p^m,$ o$2p^m$, donde p es un primo impar y$m$ es un entero positivo. Obviamente puedo verificar los casos en los que$m = 1, 2, 4$ a mano, pero tengo problemas para probar los otros dos casos.

Answer 1

$1,2,4$ pueden ser tratados fácilmente.

Para $p^m$ divide $(x^2-1)=(x-1)(x+1)$

Ahora, $x+1-(x-1)=2\implies (x-1,x+1)$ divide $2$

Así que, o bien $p^m$ divide $(x-1)$ o $(x+1)$, resultando en exactamente $2$ in-congruente soluciones

Si $2\cdot p^m$ divide $(x^2-1)=(x-1)(x+1)$

Claramente, $x$ es impar

Por eso, $p^m$ divide $\frac{x-1}2\cdot\frac{x+1}2$

Ahora, $-\frac{x-1}2+\frac{x+1}2=1\implies (\frac{x+1}2,\frac{x-1}2)=1$

Así que, o bien $p^m$ divide $\frac{x-1}2$ o $\frac{x+1}2$, resultando en exactamente $2$ in-congruente soluciones

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Alternativamente, f $x^d\equiv1\pmod m$ $m$ tiene una raíz primitiva $a$

Tomando logaritmo Discreto, $d\cdot ind_ax\equiv ind_a1\pmod {\phi(m)}\equiv0$

El uso de congruencia Lineal teorema, tiene exactamente $(d,\phi(m))$ soluciones como $(d,\phi(m))$ divide $0$

Answer 2

Sugerencia $\ $ Si$\rm\:g\:$ genera un grupo cíclico de orden$\rm\:2n,\:$ y$\rm\:x = g^k,\:$ entonces

PS