Pregunta sobre la definición de $\kappa$-integridad del filtro

Question

Estoy mirando la siguiente definición:

Que $\kappa$ Cardenal incontable regular y que $\mathcal F$ un filtro en un conjunto no vacío $X$. Decimos que $\mathcal F$ $\kappa$-completar si $\bigcap \mathcal A \in \mathcal F$ para cada familia $\mathcal A$ de tamaño inferior a $\kappa$ de subconjuntos de $X$.

¿Por qué tiene $\kappa$ a ser regular? ¿Cómo se rompe la definición si $\kappa$ es singular?

Answer 1

Supongamos que $\cal F$ fue un $\kappa$-filtro completo y $\kappa$ era singular con cofinality $\lambda$.

A continuación, para cada familia de $

Sea $\langle i_\alpha\mid\alpha

Pero tenga en cuenta que $\bigcap B_\alpha=\bigcap A_i\notin\cal F$, que es una contradicción puesto que $\lambda