¿Ayuda con una suma infinita de términos exponenciales?

Question

He estado tratando de calcular el desplazamiento cuadrático medio de una partícula confinada a una caja unidimensional, y logré obtener una respuesta en términos de una serie infinita de la forma básica $$ \sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{n^2}\exp(-an^2)\;\;. $$ No puedo averiguar si esta serie tiene una solución simple; no la encuentro en ninguna tabla de series, ni puedo expandir el exponencial y recolectar términos similares sin toparme con términos $\sum(-1)^2$. ¿Tiene esta una solución o es esto tan lejos como puedo llegar? Gracias de antemano.

Answer 1

Al usar la función theta de Jacobi, la serie resultante puede colocarse en la forma \begin{align} f(a) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n^{2}} \, e^{- a \, n^{2}} = \frac{a}{2} - \frac{\pi^{2}}{12} - \frac{1}{2} \, \int_{0}^{a} \theta\left(\frac{1}{2}, \frac{i u}{\pi}\right) \, du. \end{align>

Esto se desarrolla de la siguiente manera. Diferenciamos $f(a)$ para obtener $$f^{'}(a) = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \, e^{-a \, n^{2}}.$$ Ahora, $$ \theta(x, it) = 1 + 2 \, \sum_{n=1}^{\infty} e^{- \pi \, t \, n^{2}} \, \cos(2 n \pi x) $$ lo cual nos da $$ f^{'}(a) = \frac{1}{2} \, \left( 1 - \theta\left(\frac{1}{2}, \frac{i \, a}{\pi}\right) \right).$$ Integrando con respecto a $a$ obtenemos $$f(a) = \frac{a}{2} - \frac{1}{2} \, \int_{0}^{a} \theta\left(\frac{1}{2}, \frac{i \, u}{\pi}\right) \, du + c_{0}$$ Dado que $f(0) = - \frac{1}{2} \, \zeta(2)$, entonces se obtiene el resultado presentado.