Primera nota de que $f(z)=(z^2-z^3)^{-1/3}$ tiene puntos de ramificación en$z=0$$z=1$. Por lo tanto, se puede optar por tomar como la rama de corte de la real segmento de la línea de $[0,1]$. Si lo hacemos así, entonces debemos definir cómo los argumentos de ambos $z^{-2/3}$ $(1-z)^{-1/3}$ están definidos.
Podemos pensar en la rama de corte (" la rendija") como compuesto de dos cortes de ramas, una de $(0,0)$ $(\infty,0)$y el otro de $(1,0)$$(\infty,0)$. Alternativamente, podríamos tomar la rama de reducción de $(0,0)$ $(-\infty,0)$y el otro de $(1,0)$$(-\infty,0)$.
Si adoptamos la antigua convención para la definición de los argumentos de ambos $z^{-2/3}$$(1-z)^{-1/3}$, luego tenemos
$(i)$ En la "parte superior de la rendija," el argumento de $z$ $0$ y el argumento de $1-z$$0$. Por tanto, el argumento de $f(z)$$0$.
$(ii)$ Sobre la "baja de la rendija," el argumento de $z$$2\pi$, mientras que el argumento de $1-z$ permanece $0$. Por lo tanto, el argumento de $f(z)$$-4\pi/3$.
Si adoptamos la última convención para la definición de los argumentos de ambos $z^{-2/3}$$(1-z)^{-1/3}$, luego tenemos
$(i)$ En la "parte superior de la rendija," el argumento de $z$ $0$ y el argumento de $1-z$$0$. Por tanto, el argumento de $f(z)$$0$.
$(ii)$ Sobre la "baja de la rendija," el argumento de $z$$0$, mientras que el argumento de $1-z$$-2\pi$. Por lo tanto, el argumento de $f(z)$$2\pi/3$.
IMPORTANTE NOTA:
Es importante tener en cuenta que el $e^{i2\pi/3}=e^{-i4\pi/3}$ y que los resultados de las dos alternativas exploradas aquí son idénticos.
METODOLOGÍA 1: Integración Directa de $f$ $\gamma$
La integral de la $I$ alrededor del contorno $\gamma$ de la hendidura puede ser escrito
$$\begin{align}
I&=\oint_{\gamma}(z^2-z^3)^{-1/3}dz\\\\
&=\int_0^1 x^{-2/3}(1-x)^{-1/3}dx+\int_1^0e^{i2\pi/3}x^{-2/3}(1-x)^{-1/3}dx\\\\
&=\left(1-e^{i2\pi/3}\right)\int_0^1x^{-2/3}(1-x)^{-1/3}dx\\\\
&=\left(1-e^{i2\pi/3}\right)\text{B}\left(\frac13,\frac23\right) \tag 1\\\\
&=\left(1-e^{i2\pi/3}\right)\frac{\Gamma\left(\frac13\right)\Gamma\left(\frac23\right)}{\Gamma\left(\frac13+\frac23\right)} \tag 2\\\\
&=\left(1-e^{i2\pi/3}\right)\frac{\Gamma\left(\frac13\right)\Gamma\left(1-\frac13\right)}{\Gamma\left(1\right)} \\\\
&=\left(1-e^{i2\pi/3}\right)\frac{\pi}{\sin(\pi/3)} \tag 3\\\\
&=\left(1-e^{i2\pi/3}\right)\frac{2\pi}{\sqrt{3}}\\\\
&=\pi(\sqrt{3}+i)
\end{align}$$
Por lo tanto, hemos
$$\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{I=\oint_{\gamma}(z^2-z^3)^{-1/3}dz=\pi(\sqrt{3}+i)}$$
Notas Especiales:
En $(1)$, $\text{B}(x,y)$ es la Función Beta.
En $(2)$, $\Gamma(x)$ es la Función Gamma, la cual está relacionada con la Función Beta, por $B(x,y)=\frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}$
En $(3)$, se utilizó de Euler Reflexión Principio, $\Gamma(x)\Gamma(1-x)=\frac{\pi}{\sin (\pi x)}$.
METODOLOGÍA 2: Utilizar el Residuo en el Infinito para Integrar de $f$ $\gamma$
Otra forma de evaluar la integral de la $I$ es una forma de un contorno $C$ es evaluar el Residuo en el Infinito. El residuo en el infinito está dada por
$$\begin{align}
\text{Res}\left(f,\infty \right) &= \text{Res}\left(-\frac{1}{z^2}f\left(\frac{1}{z}\right),z=0\right)\\\\
&=\lim_{z\to 0}\,z\,\left(-\frac{1}{z^2}\left(\frac{z-1}{z^3}\right)^{-1/3}\right)\\\\
&=-e^{-i\pi/3}
\end{align}$$
Por lo tanto,
$$\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{I=-2\pi i (-e^{-\pi/3})=\pi(\sqrt{3}+i)}$$
como se esperaba!
