Número de soluciones del número entero en [0,10]

Question

¿Cuántas soluciones tiene la ecuación?

$$k+l+m+n=30,$$

donde $k,l,m,n\in\mathbb{Z},0\leq k,l,m,n\leq 10.$

Edit: esto es un ejercicio en el principio de inclusión-exclusión.

Answer 1

Este es el coeficiente de $x^{30}$$(1 + x + ... + x^{10})^4$. (Para ver esto, pensar en lo que sucede cuando usted elige un término de cada factor.) Pero esto es $\frac{(1 - x^{11})^4}{(1 - x)^4}$. Ahora,

$$\frac{1}{(1 - x)^4} = \sum_{n \ge 0} {n+3 \choose 3} x^n$$

(que usted va a reconocer como la generación de la función de dar la respuesta al problema, sin la restricción del rango.) Por otro lado, $(1 - x^{11})^4 = 1 - {4 \choose 1} x^{11} + {4 \choose 2} x^{22} - {4 \choose 3} x^{33} + x^{44}$. Estos términos sólo los tres primeros contribuir a que el coeficiente de $x^{30}$, con lo que la respuesta final

$${33 \choose 3} - {4 \choose 1} {22 \choose 3} + {4 \choose 2} {11 \choose 3} = 286.$$

Esto es equivalente a los siguientes criterios de inclusión-exclusión argumento: comienza con el conjunto de todas las soluciones con ninguna restricción. Quitar todas las soluciones donde uno de los cuatro números es mayor que $10$. Agregar de nuevo en todas las soluciones en las que dos de los cuatro números que son mayores que las de $10$.

Answer 2

Una forma geométrica, de ver que la respuesta es esta: este es el número de celosía puntos en el cubo de la $[0,10]^4$ que se cruza con el plano de $k+l+m+n = 30$. Tenga en cuenta que las esquinas $(0,10,10,10)$ son puntos en este plano. Dado que el peso de las $k,l,m,n$ son iguales, las soluciones están en bijection (sería clara una vez que se dibuja una imagen) con el entramado de puntos en la $k,l,m$ plano que está en el interior del tetraedro formado por los vértices $(0,10,10)$, $(10,0,10)$, $(10,10,0)$ y $(0,0,0)$, el número total de lo que sería el 11 de tetraédrica número que es 286.