¿$f(x,y) = ( \frac{x}{x^2+y^2},\frac{2y}{x^2+y^2} )$ Es inyectiva?

Question

Me encontré con esta función en un contexto en el cual necesito saber si es inyectiva. La función es $f:\mathbb{R}^2\backslash{(0,0)} \longrightarrow \mathbb{R}^2\backslash{(0,0)}$ y definido por %#% $ #%

Supongo que es inyectiva. Yo he podido encontrar contraejemplos, pero no podía probar que es inyectiva. Tal vez debo utilizar algún resultado, pero no pude encontrar que parecía útil.

Consejos o respuestas son muy apreciadas.

Answer 1

Trate de resolver $(u,v) = f(x,y)$. Aquí es una sugerencia para comenzar: que $s = x^2+y^2$, esto da $u = \frac{x}{s}$, $\frac{v}{2} = \frac{y}{s}$. Cuadratura da $u^2+(\frac{v}{2})^2 = \frac{1}{s}$, de la que obtenemos $s = \frac{1}{u^2+(\frac{v}{2})^2}$. Ahora averiguar qué $x,y$ son.

Después $x = s u$ $y = s \frac{v}{2}$ dé $x = \frac{u}{u^2+(\frac{v}{2})^2}$, $y = \frac{\frac{v}{2}}{u^2+(\frac{v}{2})^2}$.

$f$ Es invertible, se deduce que es inyectiva.

Answer 2

Sugerencia Expresar $x$ y $y$ $u=\frac{x}{x^2+y^2}$ y $v=\frac{2y}{x^2+y^2}$.

Una pista más: para empezar, calcular $u^2+(v/2)^2$.