Matrices sobre un anillo

Question

¿Cómo puedo encontrar

$A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ donde $a,b,c,d \in \mathbb Z[x]$ tal que no existe $B, C \in M_2(\mathbb Z[x])$ tal que $B^{-1}AC$ ¿es diagonal?

Condiciones añadidas: $B,C$ son invertibles, de manera que $B^{-1},C^{-1}\in M_2(\mathbb Z[x])$ .

¿Alguien?

Answer 1

Una condición necesaria (y suficiente) para las matrices $B,C$ con entradas en $\mathbb{Z}[x]$ para ser invertible es que el determinante respectivo sea una unidad de $\mathbb{Z}[x]$ es decir, 1 o -1.

Considere $A = \begin{pmatrix} x & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ .

Si la matriz $A$ fueron equivalente a la matriz diagonal $D$ :

$$B^{-1} A C = D$$

entonces tomando determinantes vemos que $D$ debe tener un cero en su diagonal:

$$D = \begin{pmatrix} p & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$

donde $p$ es un elemento no nulo de $\mathbb{Z}[x]$ . Reescribiendo la condición de equivalencia:

$$\begin{pmatrix} x & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} C = B \begin{pmatrix} p & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$

vemos que $p B_{21} = 0$ Así que $B_{21} = 0$ y que $x C_{12} + 2 C_{22} = 0$ . Desde $x,2$ son diferentes primos (no asociados), esto implica para algún polinomio $q$ , $C_{12} = 2q$ y $C_{22} = -xq$ .

Ahora la invertibilidad de $B$ requiere $|B_{11}| = 1$ y sin pérdida de generalidad cualquier signo de $B_{11}$ puede combinarse con $p$ en nuestros cálculos, de modo que $x C_{11} + 2 C_{21} = p$ .

Pero la invertibilidad de $C$ requiere $C_{11} C_{22} - C_{12} C_{21}$ sea 1 o -1. Sustituyendo $C_{22} = -xq$ y $C_{12} = 2q$ de arriba nos da que $-q (x C_{11} + 2 C_{21})$ es una unidad, y por lo tanto ambos factores de la misma deben ser unidades.

Esto es una contradicción porque el factor $x C_{11} + 2 C_{21}$ no puede ser una unidad. El ideal generado por $x,2$ en $\mathbb{Z}[x]$ es apropiado.