El valor exacto de $\cot\frac{7\pi}{6}$ ?

Question

Estoy trabajando en una pregunta de trigonometría en este momento y estoy muy atascado. He mirado todos los consejos para resolverla y no consigo dar con la respuesta correcta. El problema es

¿Cuál es el valor exacto de
$$\cot \left(\frac{7\pi}{6}\right)? $$

Answer 1

Tenemos $$\cot \left(\frac{7\pi}{6}\right) = \frac{1}{\tan \left(\frac{7\pi}{6}\right)} = \frac{\cos \left(\frac{7\pi}{6}\right)}{\sin \left(\frac{7\pi}{6}\right)} \equiv \frac{-\cos \left(\frac{\pi}{6}\right)}{-\sin \left(\frac{\pi}{6}\right)} = \sqrt{3}$$

Esto se puede ver fácilmente utilizando un diagrama "CAST" para reducir $\cos \left(\frac{7\pi}{6}\right)$ y $\sin \left(\frac{7\pi}{6}\right)$ a los resultados estándar.

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Según el comentario de @Scientifica, un método más sencillo sería simplemente anotar que $\tan$ es $\pi$ -periódica para que el desplazamiento de su argumento por $\pi$ no producirá ningún cambio en su valor, o: $$\cot \left(\frac{7\pi}{6}\right) = \frac{1}{\tan \left(\frac{7\pi}{6}\right)} = \frac{1}{\tan \left(\frac{7\pi}{6} - \pi\right)} = \frac{1}{\tan \left(\frac{\pi}{6}\right)} = \sqrt{3}$$

Answer 2

$$\cot \left(\frac{7\pi}{6}\right) = \cot \left(\frac{\pi}{6}\right) = \sqrt 3 $$

porque $$ \tan ( \theta + \pi) = \tan ( \theta ) $$

Answer 3

Una pista: $\cot x=\dfrac{\cos x}{\sin x}$ y

$$ \cos \left(\dfrac{7 \pi}{6}\right)=\cos \left(\pi+\dfrac{\pi}{6}\right) $$

$$ \sin \left(\dfrac{7 \pi}{6}\right)=\sin \left(\pi+\dfrac{\pi}{6}\right) $$

ahora puedes utilizar fórmulas de suma o reducción al primer cuadrante.