¿Cómo calcular $(\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}/d\mathbb{Z})/\langle(a,b+d\mathbb{Z})\rangle$?

Question

El siguiente problema me asombró, porque yo realmente pensaba que no debería ser tan difícil, pero de alguna manera yo no puedo envolver mi cabeza alrededor de ella.

Deje $A=\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}/d\mathbb{Z}$ algunos $d\in\mathbb{N}$, así como el $(a,b+d\mathbb{Z})\in A$. Entonces, ¿qué es $A/\langle(a,b+d\mathbb{Z})\rangle$?

Traté de encontrar condiciones necesarias y suficientes en términos de algunos de congruencias para$(x,y+d\mathbb{Z})$$\langle(a,b+d\mathbb{Z})\rangle$, que por supuesto sería dar el resultado por el primer teorema de isomorfismo. Una forma de hacer esto sería el uso de la observación de que $(x,y+d\mathbb{Z})\in\langle(a,b+d\mathbb{Z})\rangle$ si y sólo si $a|x$$ad|bx-ay$, lo que le da ese $A/\langle(a,b+d\mathbb{Z})\rangle$ es isomorfo a la imagen de $A$ bajo $(x,y+d\mathbb{Z})\mapsto(x+a\mathbb{Z},bx-ay+ad\mathbb{Z})$, pero yo estoy atascado en el cálculo de esta imagen.

Answer 1

El siguiente método se aplica a cualquier cociente de una finitely generado abelian grupo.

Llame a $I=\langle(a,b+d\mathbb{Z})\rangle.$ El cociente $A/I$ se puede representar en forma de matriz como $\left(\matrix{a&b\\0&d}\right)$, que se debe leer como "$A/I$ es el grupo abelian generado por $x$ $y$ está sujeto a las dos relaciones de $ax+by=0$$dy=0$.

Con este punto de vista, se dan cuenta de que

• $\Bbb Z$-invertible fila de las operaciones corresponden a los cambios de las variables en el espacio de relatores, y no tienen ningún efecto en el grupo descrito.
• $\Bbb Z$-invertible operaciones de columna corresponden a los cambios de las variables en el espacio de los generadores, y no tienen ningún efecto en el grupo de isomorfismo, pero en este caso, usted necesita para mantener un seguimiento de los cambios que se dieron cuenta de si usted desea expresar los generadores de la final, en términos de la original generadores que comenzó.

Ahora, siga la receta:

1. Calcular el $\gcd$ de $a$, $b$, $d$ (llamarlo $c$).
2. El uso de fila y columna de las operaciones, a fin de que $c$ se convierte en una de las entradas.
3. El uso de fila y columna de operaciones para reemplazar cada entrada en la misma fila y columna como $c$$0$.
4. Usted termina con $\left(\matrix{c&0\\0&0}\right)$ y su coeficiente de grupo es $\Bbb Z/c\Bbb Z\oplus \Bbb Z$ (pasa al $a=0$), o con $\left(\matrix{c&0\\0&c'}\right)$ algunos $c'$ y su coeficiente de grupo es $\Bbb Z/c\Bbb Z\oplus \Bbb Z/c'\Bbb Z$.

Sin embargo, para identificar los generadores de estos factores en la final (en términos de los generadores de los factores iniciales), usted necesita para mantener un seguimiento de los cambios de las variables se realiza durante las operaciones de columna.