Las dos expresiones que denotan un cambio de variable (cambio de escala): se aplican
$$
\eqalign{
& 1 = \int_{\,r\, = \,0}^{\;\infty } {P(r)dr} = \int_{\,r\, = \,0}^{\;\infty } {LP(r)d\left( {{r \sobre L}} \right)} = \cr
& = \int_{\,r\, = \,0}^{\;\infty } {LP\left( {L{r \sobre L}} \right)d\left( {{r \sobre L}} \right)}
= \int_{\,\tilde r\, = \,0}^{\;\infty } {LP\left( {L\tilde r} \right)d\tilde r} = \cr
& = \int_{\,\tilde r\, = \,0}^{\;\infty } {\tilde P\left( {\tilde r} \right)d\tilde r} \cr}
$$
para pasar de $r,P(r)$ a $\tilde r,\tilde P\left( {\tilde r} \right)$ poniendo
$$
\left\{ \matriz{
\tilde r = r/L \hfill \cr
\tilde P\left( {\tilde r} \right) = LP\left( {L\tilde r} \right) = LP\left( r \right) \hfill \cr} \right.
$$
Esto es totalmente lícito y muy común de la operación realizada en la probabilidad, por ejemplo, cuando reconducing
una distribución Normal con un determinado $\sigma$ a la estándar.
Ellos explican que esta "normalización" que permite simplificar (en algunos casos) las expresiones por "absorber"
el $L$ parámetro, que en realidad es un parámetro de escala. El paralelo con la Normal ayuda
para entender por qué.
Que se basa, con respecto a su duda sobre el promedio,
$$
\int_{\,\tilde r\, = \,0}^{\;\infty } {\tilde r\,\tilde P\left( {\tilde r} \right)d\tilde r}
$$
da por supuesto que el promedio de $\tilde r$ , que se denota como $ \left\langle {\tilde r} \right\rangle$
que atado a $ \left\langle {r} \right\rangle$por
$$
\left\langle {\tilde r} \right\rangle = \left\langle {r/L} \right\rangle = \left\langle r \right\rangle /L
$$
De hecho, poco después de la ecualización. (31) hablan de avg.$\tilde r$ como el "promedio relativa del número consecutivo de las cookies ..":
relativa se entiende que se refiere a $/L$, y en realidad inmediatamente debajo de ellos dan
$\left\langle {\tilde r} \right\rangle = \left\langle {r/L} \right\rangle = \cdots $.
Anexo
Volviendo a eq.(30) informó al principio de tu post
$$
P(r) = 2t{{\Gamma (L)} \over {\Gamma (L - 2t)}}{{\Gamma (L + r - 1 - 2t)} \over {\Gamma (L + r)}}
$$
El promedio de número de $r$ estaría dada por
$$
\left\langle r \right\rangle = \sum\limits_{0\, < \,r} {r\,P(r)}
= 2t{{\Gamma (L)} \over {\Gamma (L - 2t)}}\sum\limits_{0\, \le \,r} {\left( {i + 1} \right)\,{{\Gamma (L + r - 2t)} \over {\Gamma (L + r + 1)}}}
$$
En la anterior $q$ es un número real en el intervalo de $(0,1)$; la suma de arriba
puede ser expresado por medio de la Función Hipergeométrica de Gausscomo
$$
\left\langle r \right\rangle = {{t2} \over L}\;{}_2F_{\,1} \left( {2,\,L - 2t\,;\;L + 1\,;1} \right)
$$
que, en virtud del teorema de Gauss da simplemente
$$
\eqalign{
& \left\langle r \right\rangle = {{t2} \over L}{{\Gamma (L + 1)\Gamma ( - 1 + 2t)} \over {\Gamma (L - 1)\Gamma (1 + 2t)}}
\quad \left| {\,0 < {\mathop{\rm Re}\nolimits} \left( { - 1 + 2t} \right)} \right.\quad = \cr
& = \left\{ {\matriz{ {{{\left( {L - 1} \right)} \over {\left( {2t - 1} \right)}}}
& {\left| \matriz{ \;1 \le L \hfill \cr \;1/2 < p \hfill \cr} \right.} \cr \infty
& {\left| \matriz{\;1 \le L \hfill \cr \;q \le 1/2 \hfill \cr} \right.} \cr } } \right. \cr
}
$$
que, para la gran $L$, corresponden a la eq.(32).
A este respecto hemos de tener en cuenta que:
- el sumando $\left( {r + 1} \right)\,{{\Gamma (L + r - 2q)} \over {\Gamma (L + r + 1)}}$ tiene una expansión en series de a $r=\infty$que
es $1/r^{2q} + O(1/r^{2q+1})$ y la suma es, por tanto, convergente para $1<2q$;
- la Hipergeométrica $ {}_2F_{\,1} \left( {a,\,b\,;\;c\,;z} \right)$ tiene una singularidad en $z=1$, por lo que
su valor no deberá ser tomada en el límite con la debida restricciones;
- las restricciones son las establecidas para la validez de su conversión en la fracción con Gammas, es decir, $0<1-2q$.
