Integral indefinida de $\frac1{1-x^a}$

Question

¿Se conoce algún resultado para la siguiente integral indefinida para cualquier $a>0$ ? $$ \int \frac{1}{1-x^a}\,\mathrm{d}x $$

Para $a=1 ~\& ~2$ En este caso, he podido obtener las expresiones a través de diferentes métodos (cambio de variables y separación de fracciones, respectivamente). Pero ¿podemos decir algo para cualquier general $a$ ?

Gracias de antemano por cualquier ayuda al respecto.

Answer 1

Desde el $n$ -derivada de $z^\alpha$ viene dada por $$D^nz^\alpha=p(\alpha,n)z^{\alpha-n}$$ Donde $p(\alpha,n)=\prod_{k=1}^{n}(\alpha-k+1)$ tenemos $$D^nz^{\alpha}|_{z=1}=p(\alpha,n)$$ Debido a esto, obtenemos la serie de Taylor para $z^\alpha$ : $$z^\alpha=\sum_{n\geq 0}p(\alpha,n)\frac{(z-1)^n}{n!}$$ Enchufar $z=1-x^a$ y $\alpha=-1$ obtenemos $$\frac{1}{1-x^a}=\sum_{n\geq0}\frac{p(-1,n)}{n!}(1-x^a-1)^n$$ $$\frac{1}{1-x^a}=\sum_{n\geq0}(-1)^n p(-1,n)\frac{x^{an}}{n!}$$ Que puede integrarse término a término.

Answer 2

Cuando $a$ es un número entero positivo, $1-x^a$ siempre es un factor en factores lineales y cuadráticos reales. Entonces puedes usar la separación de fracciones, y termina siendo una suma de logaritmos y arcotangentes. Pregunta a Wolfram Alpha por los primeros.