Demostrando $k \binom{n}{k} = n \binom{n-1}{k-1}$

Question

Supongamos que queremos demostrar a $$ k \binom{n}{k} = n \binom{n-1}{k-1}$$

En la LHS, estamos seleccionando un equipo de $k$ jugadores de $n$ jugadores. A continuación, vamos a elegir un capitán. En el lado derecho tenemos la elección de un capitán de la $n$ jugadores. A continuación, vamos a elegir el resto de $k-1$ jugadores de la $n-1$ jugadores.

Es esta una interpretación correcta?

Answer 1

Esta pregunta es la Identidad de 130 en la página 65 de "Pruebas de que Realmente cuenta" de Benjamin y Quinn.

Pregunta: ¿de cuántas maneras distintas podemos crear un tamaño de $k$ comité de estudiantes de una clase de $n$ a los estudiantes, donde uno de los miembros del comité es designado como presidente?

Respuesta 1: No se $\binom{n}{k}$ formas para elegir el comité, a continuación, $k$ formas de seleccionar el presidente. Por lo tanto, hay $k\binom{n}{k}$ resultados posibles.

Respuesta 2: seleccione Primero el presidente de la clase de $n$ de los estudiantes. Luego del resto de las $n-1$ estudiantes, recoger el resto de $k-1$ a los miembros del comité. Esto se puede hacer a $n\binom{n-1}{k-1}$ maneras.

Answer 2

Parece derecho. Curiosamente, por este método, se puede demostrar que la igualdad se extiende hasta el término \begin{equation} {n \choose k-1}\cdot (n-k+1) \end{equation}

por primera recoger la no-capitanes, a continuación, elegir a un capitán de entre el resto. Igualmente esta es igual

\begin{equation} {n \choose k}\cdot {k \choose 2} \; \big/ \; \frac{k-1}{2} \end{equation}

debido a que usted pueda seleccionar el equipo, a continuación, elegir dos candidatos a luchar entre sí hasta el K. O. de la capitanía, sin embargo, usted tiene que compensar el hecho de que el ganador podría haber sido igualada en contra de nadie, pero habría perdido la mitad del tiempo ;)

Answer 3

Yo diría que es una interpretación correcta (puede tener otra interpretación, tan significativo). Para ver el efecto completo, me gustaría escribir como:

$$\binom{k}{1} \binom{n}{k} = \binom{n}{1} \binom{n-1}{k-1}$$

para destacar mejor el inicio de la ecuacional de equilibrio (act).