Encontrar una función masa de probabilidad de una variable aleatoria

Question

$\color{red}{Attempt} $

Empezamos con $k=1$, $P(X=1)$ es la probabilidad de que una carta se ha metido en el sobre correcto. Nuestro espacio muestral tamaño de la es $n$ y dado que sólo hay una manera de que una letra debe haber sido puesto en el sobre correcto y el resto $n-1$ incorrectamente y así vemos que el $P(X=1)= \dfrac{(n-1)!}{n}$, ahora para $P(X=2)$ se hace más complicado, así que ahora sé que ${n \choose 2}$ es el tamaño del espacio muestral y ahora queremos contar el número de maneras en que las 2 cartas debe haber sido puesto en el sobre correcto. En primer lugar, de todos, el $n-2$ letras que se han colocado incorrectamente que tiene que contar de ellos y nos han $(n-2)!$ y, a continuación, las 2 cartas que se colocan correctamente, esto se realiza de una manera así

$$ P(X=2) = \frac{(n-2)!}{{n \choose 2} }$$

así que, en general, tenemos

$$ P(X=k) = \frac{(n-k)!}{n \choose k } $$

es esto correcto?

Answer 1

Para $n$ cartas hay $n!$ maneras de poner en los sobres, y el número de maneras en que exactamente $k$ letras son en el sobre correcto puede ser dividido en dos factores:

• el $\binom nk$ formas para elegir correctamente colocado letras
• el $S(n-k)$ formas de colocar el resto de los sobres, de modo que ninguno de ellos están en el sobre correcto

Por lo tanto la probabilidad de $P(X=k)$ es $\frac1{k!}\cdot\frac{S(n-k)}{(n-k)!}$ – en particular la expresión de la derivada está mal.

Ahora podemos determinar el $S(n-k)$; escribo esto como $S(m)$. Hay $\binom m0(m-0)!$ permutaciones en total, $\binom m1(m-1)!$ la fijación de un punto, $\binom m2(m-2)!$ la fijación de dos y así sucesivamente a $m$ puntos fijos. A continuación, el principio de inclusión/exclusión da el número de permutaciones sin puntos fijos como $$\sum_{i=0}^m(-1)^i\frac{m!}{i!}=m!\sum_{i=0}^m\frac{(-1)^i}{i!}$$ Luego tenemos a la simplificación $$P(X=k)=\frac1{k!}\sum_{i=0}^{n-k}\frac{(-1)^i}{i!}$$ $S(n)$ cuenta de lo que se denominan trastornos de $n$ objetos, y es más a menudo denotado $!n$. Con esta notación podemos escribir también $$P(X=k)=\frac1{k!}\cdot\frac{!(n-k)}{(n-k)!}$$