Demostrando la retirada del monics es monic.

Question

Que en su mayoría sólo quiere comprobar mi razonamiento en mi prueba. En aras de la claridad, el diagrama estamos trabajando con es

donde $m$ es monic, la esquina superior izquierda es un retroceso, y queremos demostrar que $m'$ es monic.

He aquí un boceto de mi prueba. Me puede dar más profundo razonamiento, si quería, simplemente les estoy proporcionando el esbozo de mi razonamiento para ser breves. (Tuve la oportunidad de probar cada cosa individual lo suficientemente bien como para satisfacer a mí mismo, sólo quiero estar seguro de que el razonamiento en sí es todo a la derecha.)

1. En primer lugar, debemos comenzar por considerar otro objeto $X$ paralelo con flechas $a,b : X \rightarrow M'$ tal que $m' \circ a = m' \circ b$

2. Incluso antes de comenzar la prueba adecuada, tomamos nota de que el objetivo final: para demostrar $m'$ es monic. Nuestra construcción de ayuda con la que, como se verá. El objetivo es mostrar a $a=b$ cuando $m' \circ a = m' \circ b$. El objetivo, entonces, es invocar la característica universal de la retirada: en hacerlo, nos aseguramos de que existe una única flecha $u : X \rightarrow M'$. Debido a esto, se deduce $a = b = u$. Y por lo tanto $m'$ es monic, porque nuestra suposición $m' \circ a = m' \circ b$ led a $a = b$.

3. A través de nuestras suposiciones a partir de la construcción de la $X, a, b$ y a partir de los hechos que $m$ es monic y el diagrama original es un retroceso, el próximo necesidad de probar que los desplazamientos del diagrama cuando X está en juego. Un aspecto áspero en:

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(Leve digresión)

No es bastante para mirar realmente debería aprender cómo hacer flechas en Látex de modo de aclaración del amor, de la esencial igualdad tenemos que verificar son:

$$g\circ a=g\circ b\\ m'\circ a=m'\circ b\\ m\circ (g\circ a)=f\circ (m'\circ a)\\ m\circ (g\circ b)=f\circ (m'\circ b)$$

El primero es el de los desplazamientos de la parte superior, el trapecio, el segundo de la izquierda, y la tercera y la cuarta asegurar los desplazamientos de la plaza exterior.

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4. Con la necesaria commutings aseguró, podemos invocar el universal propiedad de la retirada. Por lo tanto, $\exists ! u : X \rightarrow M'$, etc. etc.

5. Desde $u$ es único, $a = b = u$. Desde nuestra suposición $m' \circ a = m' \circ b$ implícitas $a = b$, junto con el resto de los supuestos (pullback, $m$ monic), a continuación, $m'$ es monic.

Para lo que vale, creo que esta es esencialmente la misma línea de razonamiento comunicada en esta pregunta. Yo soy todo acaba de elaborar más adelante, en una especie de explicar a mí mismo si se quiere, ya que no el 100% de sentido para mí cuando me vio allí.

Answer 1

Los huesos de la prueba son buenas, y usted sabe a dónde quiere ir con ella. Usted también sabe cómo probar esto, y está familiarizado con las propiedades universales de pullbacks y monics. Su conocimiento técnico es impecable. Todo lo que su prueba de necesidades es una más clara exposición.

En particular, los cuatro igualdades has dado son el quid de la prueba. Si expande la parte, se hace la prueba más clara, en particular, cómo se están utilizando las propiedades de monic $m$ a probar $m^\prime$ es monic (a la que aluden en su paso 3).

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El orden de las igualdades es este:

Por supuesto: $m^\prime \circ a = m^\prime \circ b$

La función de la aplicación: $f\circ (m^\prime \circ a) = f \circ (m^\prime \circ b)$

Retirada de la plaza de viajes: $(g\circ a) \circ m = f\circ (m^\prime \circ a) = f \circ (m^\prime \circ b) = (g\circ b) \circ m$

Monic $m$: $g\circ a = g \circ b$

El retroceso de la propiedad: Desde $g\circ a = g \circ b$ e $m^\prime \circ a = m^\prime \circ b$, no hay una única flecha $u$ tal que $m^\prime \circ u = m^\prime \circ a = m^\prime \circ b$ (similar con $g$ pero no nos importa mucho acerca de eso).

Entonces, exactamente como lo razonado en los pasos 4 y 5, $a = b = u$, e $m^\prime$ es monic.

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Veo dos áreas de mejora. Uno es saber donde exponer sus datos y dónde se elide. Esto es una cosa difícil de hacer, y sólo viene con la práctica. Espero que las Matemáticas StackExchange puede ser una comunidad de apoyo que ayuda a aprender este equilibrio.

El segundo, lo que podría ayudar con el primero, es de señalar conmutatividad. He encontrado Categoría de la Teoría de los diagramas de ser super complicado, ya que no todo necesariamente viajes con todo lo demás. Algunas flechas que podría ser la composición de los otros dos no puede ser. Todo lo que los viajes en el diagrama, y en paralelo las flechas que terminan siendo iguales, pero que no es necesariamente así.

Otra gran manera de mejorar sus habilidades de la escritura es la lectura. Usted puede leer una prueba para entender lo que está siendo probado, y su destreza en hacer que esto está claro. Además, se puede leer para entender cómo el autor establece definiciones, invoca a los supuestos de la hipótesis, y conecta estos hechos con la lógica y la maquinaria de las matemáticas en estudio para elaborar una prueba.