Cambio de homología quitando un simplex y su cara

Question

Deje $K$ ser un resumen simplicial complejo y $\alpha,\beta$ ser $k-1$-dimensional y $k$-dimensiones simplex de $K$ respectivamente, tal que:

• $\alpha$ es una auténtica cara de $\beta$
• $\alpha$ no es una cara correcta de cualquier otro simplex de $K$ (aparte de $\beta$).

Deje $L=K\setminus \{\alpha,\beta\}$ que es válido simplicial complejo.

Sin necesidad de utilizar el hecho de que $K$ e $L$ son homotopy equivalente/deformación retraer, podemos argumentar (el débil resultado) que

$$H_i(K)=H_i(L)$$ for all $i\leq k-2$ or $i\geq k+2$ de la siguiente manera:

Por definición, $H_i=\ker\partial_i/\text{Im}\ \partial_{i+1}$.

También tenemos $\partial_i: C_i\to C_{i-1}$, e $\partial_{i+1}: C_{i+1}\to C_{i}$

Desde $L$ e $K$ sólo se diferencia por $\alpha$ e $\beta$ cuales son las dimensiones de $k-1$ e $k$, $C_i(K)$ e $C_i(L)$ sólo difieren $i=k-1$ o $i=k$. Por lo tanto, $\partial_i$ para $K$ e $L$ sólo difiere cuando $k-1\leq i\leq k+1$?

Es el anterior argumento válido?

Me preocupa el kernel $\ker \partial_{k+1}: C_{k+1}\to C_k$, es esto diferente o del mismo para $K$ e $L$?

Cualquier oportunidad de mejorar aún más (sin tener que recurrir a la utilización de homotopy equivalencia)?

Muchas gracias.

Answer 1

La siguiente es la más sencilla prueba que podría venir para arriba con. También se puede discutir de manera muy explícita en términos del núcleo y de la imagen, pero es en última instancia una retraducción de esta idea.

$L$ es un simplicial subcomplejo de $K$. Por lo tanto, el mapa de $C_*(L) \to C_*(K)$ es una cadena de mapa. Tenemos una breve secuencia exacta $$0 \to C_*(L) \to C_*(K) \to C \to 0,$$ where $C$ is the quotient. To be precise, if $\C_*(K)$ projects to $[a]$ in $C$, the differential $\parcial [a]$ is the projection of $\partial un$ to $C$.

Debido a $L = K \setminus \{\alpha, \beta\}$, el complejo de cadena $C$ se concentra en los grados de $k$ e $k-1$, donde $C_k = C_{k-1} = \Bbb Z$. En $C_*(K)$, sabemos que $\partial \beta = \pm \alpha + c$, donde $c$ es cierta suma de simplices otros de $\alpha$.

En particular, $\partial[\beta] = \pm [\alpha]$ en $C$. Por lo tanto, $H_*(C) = 0$ en todos los grados. Debido a que el largo de la secuencia exacta en la homología asociadas a este complejo de cadena es, por tanto, de la forma $$0 \to H_*(L) \to H_*(K) \to 0,$$ , vemos que la inclusión de mapas es un isomorfismo.