Buscando

Question

Búsqueda de $\displaystyle \int^{\frac{\pi}{2}}_{0}\ln(\sin x)\cdot \sin xdx$

Lo que yo trato:-> Integración por partes

asumiendo $\displaystyle I = \int\ln(\sin x)\cdot \sin xdx = -\ln(\sin x)\cdot \cos x+\int\frac{\cos^2 x}{\sin x}dx$

$\displaystyle I = -\ln(\sin x)\cdot \cos x+\int\frac{1-\sin^2 x}{\sin x}dx$

$ = -\ln(\sin x)\cos x+\ln\bigg(\tan\frac{x}{2}\bigg)-\cos x$

$ \displaystyle \int^{\frac{\pi}{2}}_{0}\ln(\sin x)\cos xdx = \bigg[-\ln(\sin x)\cos x+\ln\bigg(\tan\frac{x}{2}\bigg)-\cos x\bigg]\bigg|^{\frac{\pi}{2}}_{0}=-\ln(0)+\ln(0)$

pero la respuesta es $\ln(2/e)$

alguien podría explicar por qué he errado respuesta,gracias

también me explique Cómo puedo resolverlo utilizando la integral doble

Answer 1

<span class="math-container">\begin{align} I&=\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}\ln(\sin x)\cdot \sin x\,dx \tag{1}\label{1} \end {Alinee el}</span>

<span class="math-container">\begin{align} I&=\int^{\frac{\pi}{2}}{0}\tfrac12\ln(\sin^2 x)\cdot \sin x\,dx \tag{2}\label{2} \ &= \int^{\frac{\pi}{2}}{0} \tfrac12\ln(1-\cos^2 x)\cdot \sin x\,dx \tag{3}\label{3} . \end {Alinee el}</span>

Que <span class="math-container">$t=\cos x$</span>, entonces tenemos

<span class="math-container">\begin{align} I&=\tfrac12\int_0^1\ln(1-t^2)\,dt \ &= \tfrac12\int_0^1\ln(1-t)+\ln(1+t)\,dt \ &= \left.\tfrac12 ( 1-t-(1-t)\ln(1-t) +(t+1)\ln(t+1)-1-t )\right|_0^1 =\ln2-1 . \end {Alinee el}</span>

Answer 2

$\log\sin x$ tiene una conocida serie de Fourier: $$ \log\sin x=-\log 2-\sum_{k\geq 1}\frac{\cos(2k x)}{k} $$ y para cualquier $k\in\mathbb{N}^+$ hemos $$ \int_{0}^{\pi/2}\cos(2kx)\sin(x)\,dx = -\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}, $$ por lo tanto $$ \int_{0}^{\pi/2}\sin(x)\log\sin(x)\,dx = -\log(2)+\sum_{k\geq 1}\frac{1}{(2k-1)k(2k+1)} $$ donde el último de la serie es igual a $-1+2\log 2$ parcial por fracción de descomposición. De ello se sigue que $$ \int_{0}^{\pi/2}\sin(x)\log\sin(x)\,dx = \log(2)-1 $$ como quería.

Answer 3

Otras respuestas son buenas pero prefiero hablar del tuyo. Encontrado (con un error de tipeo) <span class="math-container">\begin{align} \int{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln(\sin x)\ \sin x\ dx &= -\ln(\sin x)\cos x+\ln\bigg(\tan\frac{x}{2}\bigg)\color{red}{+}\cos x\Big|{0}^{\frac{\pi}{2}} \ &= 0 + \lim{x\to0}\bigg(\ln(\sin x)\cos x+\ln\tan\frac{x}{2}\bigg)-1 \ &= 0 + \lim{x\to0}\bigg(\ln(1+\cos x)-(1-\cos x)\ln\sin x\bigg)-1 \ &= \ln2-1 \end {Alinee el}</span>