¿Existe un arco (algo homeomorfa al intervalo <span class="math-container">$[0, 1]$</span>) que es en ninguna parte diferenciable? Si es así, ¿cómo se define la función de la longitud de arco a lo largo de un arco de tal? ¿Puede un arco topológico tiene longitud infinita?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Carmeister
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Estás buscando el concepto de un subsanables en la curva. Es posible hablar de la longitud de un general de la curva mediante la aproximación con segmentos de línea. Como los segmentos de línea en la aproximación se hacen más pequeños, su longitud total aumentará. Si no se puede ir hasta el infinito, entonces se acerca a un valor, definido como la longitud de arco de la curva y la curva se dice ser subsanables. Usted puede demostrar que si la curva es diferenciable, este proceso va a dar el mismo resultado para la longitud de arco como el más familiarizado $$\int \sqrt{(x')^2+(y')^2}\,dt.$$ (Ver https://en.wikipedia.org/wiki/Arc_length para obtener más detalles.)
En cuanto a la cuestión de si una curva diferenciable, pueden ser subsanables o no, el uso de esta definición se puede demostrar que una curva diferenciable, nunca es subsanables (ver, por ejemplo, esta pregunta).
