Espacio topológico localmente convexo

Question

Tengo un problema con esta tarea. Deje $M=\{[f] , f:[0,1] \to \mathbb{F} , \int_0 ^1 |f(x)|^x dx<\infty \}$, donde $f$ es una función medible, ser un conjunto y deje $\rho(f,g)=\int_0 ^1 |f(x)-g(x)|^x dx$ ser una métrica. Considerar una topología inducida por la métrica $\rho$. La prueba, que establezca $M$ con esta topología es o no es localmente convexo del espacio.

Alguna sugerencia sobre cómo demostrarlo ?

Yo creo que no es localmente convexo del espacio. Prueba:

Deje $U\in T(0)$, donde $T$ es la topología en $M$. Nos muestran que $co(U)=M$. Deje $\epsilon >0$ tal que $B(0,\epsilon)\subset U$ e $n\in \mathbb{N}$ tal taht $1/\sqrt{n}<\epsilon$. Considere la posibilidad de $f\in M$. Definir $I_i=[\frac{i-1}{n},\frac{i}{n}],~i=1,..,n$. Definir $f_i=\sqrt{n}f\chi_i,~ i=1,..,n$ donde $\chi$ es la función característica. A continuación, tiene $\rho(f_i,0)=\int_0^1|f_i(x)|^xdx=\int_{I_i}|\sqrt{n}f(x)|^xdx\leq \sqrt{n} \int_{I_i}|f(x)|^xdx\leq \frac{1}{\sqrt{n}}<\epsilon$. Se supone $f_i\in B(0,\epsilon)\subset U$ e $f=\sum_1^n \frac{1}{\sqrt{n}}f_i$, lo $f\in co(U)$ y, a continuación, $co(U)=M$. Es correcto ? Gracias.

Answer 1

Voy a demostrar que $M$ no es localmente convexo espacio vectorial topológico.

Considerar el abrir de la unidad de balón $B(0,1)$ en $M$, y si es posible, deje $U$ ser convexa nbd de $0$ contenida en $B(0,1)$. Ahora no es $\epsilon>0$ tal que $U\supseteq B(0,\epsilon)$.

Elija $f\in M$, de tal manera que $f(x)=0\ for\ x\in (\frac{1}{2},1]$. Desde $f\in M$ tenemos $\Delta(f):=\int_0^1 |f(x)|^x dx<\infty$.Por lo que podemos optar $n\in \Bbb N$ tal que $ n^{-1/2} \Delta(f)<\epsilon$. Ahora por la continuidad de la integral indefinida de $t\rightarrow \int_0^t|f(x)|^xdx$ tenemos puntos de $0=t_0<t_1<......<t_n=1$ tal que $\int_{t_{i-1}}^{t_i}|f(x)|^xdx=n^{-1}\Delta(f)$ para $1≤i≤n$. Definir $f_i=nf\chi_i,~ i=1,..,n$ , donde $\chi_i$ es la función característica de a$[t_{i-1},t_i]$. Por lo tanto, $$\rho(f_i,0)=\int_0^1|f_i(x)|^xdx=\int_{t_{i-1}}^{t_i}n^x|f(x)|^xdx≤\int_{t_{i-1}}^{t_i}n^{1/2}|f(x)|^x\ dx =n^{1/2}\frac{\Delta(f)}{n}<\epsilon$$

Ahora $f=\sum_1^n \frac{1}{n}f_i$ e $f_i\in B(0,\epsilon)\subseteq U$ y desde $U$ es convexa tenemos $f\in U$.

Lo que hemos mostrado que para cualquier $f\in M$ con $f(x)=0\ for\ x\in (\frac{1}{2},1]$, $f\in U\subseteq B(0,1)$. Pero, a continuación, las funciones de la forma $$g_n(x)=n^x\ for\ x\in [0,1/2] \ and\ g_n(x)=0 \ for\ x\in (1/2,1]\ and\ n\in \Bbb N$$ are in $U$. But notice that $g_n\U,\subseteq B(0,1)$ for each $n\in \Bbb, N$ and $\rho(g_n,0)=\frac{n^{1/2}-1}{log_e n}\rightarrow \infty$, which is impossible. Hence $M$ has no local base $\mathscr B_0$ at $0$ such that members of $\mathscr B_0$ are convex. Hence $M$ no puede ser localmente convexo espacio vectorial topológico.