Demostrar que $\frac{(z_1 + z_2)(z_2 + z_3)...(z_{n-1} + z_n)(z_n + z_1)}{z_1 \cdot z_2 \cdot ... \cdot z_n}$ es real

Question

$z_1, z_2, ... z_n$ son números complejos tales que $|z_1| = |z_2| = ... = |z_n|$. Cómo probar que $\frac{(z_1 + z_2)(z_2 + z_3)...(z_{n-1} + z_n)(z_n + z_1)}{z_1 \cdot z_2 \cdot ... \cdot z_n}$ es real? He intentado escribir $z_1, z_2, ..., z_n$ en forma polar, pero no podía entender demasiado de la abundancia de los senos/cosenos.

Answer 1

Tenga en cuenta que $w$ es real si, y sólo si $w=\bar w$, y que cuando se $|w|=1$, $\bar w = 1/w$. Entonces es suficiente para mostrar su expresión es invariante cuando se vuelva a colocar todos los $z_i$ por su inversa. Pero esto puede ser visto por notando su expresión es de

$$w = \left( 1 + \frac{z_2}{z_1}\right)\left(1+\frac{z_3}{z_2}\right)\cdots \left(1+\frac{z_{n}}{z_{n-1}}\right)\left(1+\frac{z_1}{z_n}\right)$$

que se construye para ser invariantes bajo tales mapa.

Answer 2

Sugerencia: Podemos suponer $|z_k|=1$. A continuación, calcular el conjugado de la expresión con que $z_k \bar z_k =1$.