Cómo demostrar a $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n\theta \sin \sqrt{n}}{n}$ es convergente o no

Question

Quiero comprobar si $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\pecado n\theta \sin \sqrt{n}}{n} $$ es convergente o no. $\theta$ es un número real. Lo que sé es $$ |\sum_{n=1}^{N}\sin n\theta| = |\frac{\cos \frac{\theta}{2} - \cos(N+\frac{1}{2})\theta}{2\sin\frac{\theta}{2}}| \leq \frac{1}{|\sin \frac{\theta}{2}|}$$ para $\theta\neq 2k\pi$. Supongamos $\theta \neq 2k\pi$. Así que por Dirichlet prueba, $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n\theta}{n}$ es convergente. Pero yo no sé muy bien cómo resolver el original. Cualquier sugerencia o algo? Muchas gracias!

Answer 1

Podemos utilizar una combinación de sumación por partes y la Denjoy-Koksma la desigualdad, ya que $\sin\sqrt{n}$ es aproximadamente constante en intervalos cortos de tiempo.
Claramente si logramos demostrar que $\sum_{n\geq 1}\frac{1}{n}\cos(n\theta\pm\sqrt{n})$ es convergente/divergente hemos terminado. Deje $\left\{\frac{p_m}{q_m}\right\}_{m\geq 1}$ ser la secuencia de convergents de la continuación de la fracción de $\pi$. $\cos x$ es Lipschitz continua y $\left|\pi q_m-p_m\right|\leq\frac{1}{q_m}$, por lo tanto $$ \sum_{n=1}^{p_m}\frac{\cos(n\theta\pm\sqrt{n})}{n}=H_{p_m}-\sum_{n=1}^{p_m}\frac{1-\cos(n\theta+\sqrt{n})}{n} $$ puede ser, efectivamente, aproximada por $$ H_{p_m}-\int_{0}^{\pi q_m}\frac{1-\cos(\theta x+\sqrt{x})}{x}\,dx = H_{p_m}-4\int_{0}^{\sqrt{\pi q_m}}\frac{\sin^2\left(\frac{\theta}{4} x^2+\frac{1}{2}x\right)}{x}\,dx$$ debido a la Denjoy-Koksma la desigualdad. La invocación de la transformada de Laplace, el problema se reduce a la comprobación de la convergencia de la habitual integrales de Fresnel y sus plazas. En una más de modo elemental, $\sin^2\left(\frac{\theta}{4}x^2+\frac{1}{2}x\right)$ tiene una media de valor convergente a $\frac{1}{2}$ en intervalos largos, de ahí el singular parte de la última integral es $$ 4\cdot \frac{1}{2}\log\sqrt{\pi q_m} = \log(\pi q_m)$$ la cancelación de la singular parte de $H_{p_m}$, es decir, $\log(p_m)$. Esto debería ser suficiente para que el estado de la convergencia de la serie original, al menos para $\theta\not\in\pi\mathbb{Z}$. Si $\theta=0$ tenemos un interesante sub-pregunta. Desde $$ \sum_{n=p_m}^{p_{m+1}}\frac{\sin\sqrt{n}}{n}\approx \int_{p_m}^{p_{m+1}}\frac{\sin\sqrt{x}}{x}\,dx $$ y $\int_{0}^{+\infty}\frac{\sin\sqrt{x}}{x}\,dx=\pi$, es natural preguntarse acerca de la forma cerrada para $$ \pi-\sum_{n\geq 1}\frac{\sin\sqrt{n}}{n}.$$