Elementos de $S_n$ se puede escribir como un producto de $k$-ciclos.

Question

Deje $k\leq n$ ser incluso. Demostrar que todo elemento de a$S_n$ se puede escribir como un producto de $k$-ciclos.

Realmente no tengo idea de cómo ir sobre esto. Mi primera impresión fue la de proceder por inducción primera en $n$ para el caso base de la $k=2$ (es decir, primero mostrando $S_n$ es generado por sus transposiciones) y, a continuación, inductores en $k$. Pero no tengo idea de cómo mostrar que, suponiendo que la afirmación es verdadera para $k=2i$ para algunos i$\in\mathbb{Z}^+$, que también se aplica a las $k=2(i+1)$.

Answer 1

El conjugado de un $k$-el ciclo de es $k$-ciclo. Por lo $G$, el grupo generado por $k$-ciclos es un subgrupo normal de $S_n$. Para $n\ne 4$, la normal subgrupos de $S_n$ se $S_n$, $A_n$ e $\{\text{id}\}$. El único de estos que contiene $k$-ciclos para, incluso, $k$ es $S_n$.

Para $n=4$, $S_4$ tiene un subgrupo normal para tener en cuenta.

Answer 2

Aquí es una prueba directa, sin necesidad de conocimientos de la normal de subgrupos del grupo simétrico.

Ya sabemos que cada permutación es un producto de transposiciones, será suficiente para demostrar que, incluso para $k$, una transposición se puede escribir como un producto de $k$-ciclos. De hecho, es el producto de tres $k$-ciclos; por ejemplo, la transposición $(1\ 2)$ es igual a cada uno de los siguientes: $$(1\ 2\ 3\ 4)^2(4\ 2\ 3\ 1),$$ $$(1\ 2\ 3\ 4\ 5\ 6)^2(6\ 4\ 2\ 5\ 3\ 1),$$ $$(1\ 2\ 3\ 4\ 5\ 6\ 7\ 8)^2(8\ 6\ 4\ 2\ 7\ 5\ 3\ 1),$$ etc. En general, si $k=2h\le n$, luego $$(a_1\ b_1)=(a_1\ b_1\ a_2\ b_2\ \cdots\ a_{h-1}\ b_{h-1}\ a_h\ b_h)^2(b_h\ b_{h-1}\ \cdots\ b_2\ b_1\ a_h\ a_{h-1}\ \cdots\ a_2\ a_1).$$