¿Es consistente con ZF que no exista un conjunto incontable de reales algebraicamente independientes?

Question

Exactamente lo que pide el título. Esta pregunta está inspirada en éste que busca un conjunto contable de este tipo. Es bastante fácil construir un tamaño $\mathfrak{c}$ conjunto algebraicamente independiente de reales utilizando una diagonalización de tamaño $\mathfrak{c}$ si tienes aire acondicionado. ¿Y sin ella?

Answer 1

John von Neumann demostró que $A_r = \sum_{n=0}^\infty \frac{2^{2^{[nr]}}}{2^{2^{n^2}}}$ son algebraicamente independientes en

von Neumann, J. , Un sistema de números algebraicamente independientes. Matemáticas. Ann. 99, 134-141 (1928). ZBL54.0096.02 .

Así que la respuesta es no. Siempre es demostrable que existe un conjunto de tamaño continuo de números reales algebraicamente independientes.

( Fuente: François G. Dorais en MathOverflow )