¿Qué hay de malo en mi solución? Formas de elección de los 5 elementos de la categoría de 3 con 3, 6, 14 puntos, mientras que con 1 elemento de cada categoría.

Question

La pregunta exacta es:

b) Sandra desea comprar algunas aplicaciones (apps) para su teléfono inteligente, pero ella sólo tiene suficiente dinero para 5 aplicaciones en total. Hay 3 trenes apps, 6 red social de aplicaciones y 14 juegos aplicaciones disponible. Sandra quiere tener al menos 1 de cada tipo de aplicación. Encontrar el número de diferentes posibles selecciones de 5 aplicaciones que Sandra se puede elegir?

Cómo me acerqué a esta pregunta :
Como tenemos que elegir 1 de cada categoría, los tres primeros de aplicaciones puede ser elegido en :
3 x 6 x 14 = 252 maneras.
Ahora, para el resto de las 2 aplicaciones, podemos elegir entre el 20 aplicaciones (3 + 6 + 14 - la instalación de 3 aplicaciones)
Así, el número de combinaciones deben 20C2 = 190, así que, finalmente, la respuesta que obtuve fue de 3 x 6 x 14 x 190 = 47880 que está mal, la respuesta es 13839 maneras. Después de probar con otro método tengo 13839 pero, necesito saber por qué este método es malo. ¿Alguien puede explicar esto?

Answer 1

Usted está overcounting muchas, muchas opciones, tales como las siguientes selecciones:

• tren de aplicación, SNS aplicación B, juegos de aplicación C, juegos app D, juegos de aplicación E
• tren de aplicación, SNS aplicación B, los juegos de la app D, juegos de aplicación C, juegos de aplicación E

Su método cuenta estas dos selecciones como diferentes (la cursiva es la parte de "al menos uno de cada aplicación el requisito de"), pero son el mismo.

Answer 2

Como Parcly Taxel señaló, sobre contar muchas veces debido a recoger a la gente en dos cargos distintos(utilizando el método) no cuenta para el orden.

Mi intento(de casos) es la siguiente:

Los posibles tamaños de grupo por cada elemento debe ser: 1, 1, 3, o 1, 2, 2.

Caso 1: 1, 1, 3

Hay diferentes combinaciones basadas en las diferentes opciones del grupo más grande. Así que calcular por separado, dando

$$\binom{3}{1}\binom{6}{1}\binom{14}{3} + \binom{3}{1}\binom{6}{3}\binom{14}{1} + \binom{3}{3}\binom{6}{1}\binom{14}{1} = 7476.$$

Caso 2: 1, 2, 2

De manera similar a la de la última, tenemos $$\binom{3}{1}\binom{6}{2}\binom{14}{2}+\binom{3}{2}\binom{6}{1}\binom{14}{2}+\binom{3}{2}\binom{6}{2}\binom{14}{1} = 6363.$$

Sumando los dos casos da un total de $$\boxed{13839}.$$

Answer 3

Como se ha señalado por @Parcly Taxel,
Usted está overcounting las aplicaciones; tenga en cuenta que el orden es irrelevante aquí, así que train1,train2 es la misma que la train2,train1. Aquí es donde overccounting deslizado en su solución.

Así que, ¿cómo evitar este overcounting?

Tomar 3T,6S y 14G de aplicaciones.
En total, desea 5 apps.

Para realizar selecciones como: $$(1T,1S,3G),(1T,3S,1G),(3T,1S,1G),(2T,2S,1G),(2T,1S,2G),(1T,2S,2G)$$ Ahora, para contar el número de maneras que usted tiene para cada una de la selección anterior, y añadir.

$$(^3C_1^6C_1^{14}C_3) + (^3C_1^6C_3^{14}C_1) + (^3C_3^6C_1^{14}C_1) + (^3C_2^6C_1^{14}C_1) + (^3C_2^6C_1^{14}C_2) + (^3C_1^6C_2^{14}C_2) = 13839$$

Answer 4

He encontrado otra solución mediante la Inclusión-Exclusión Principio y Complementarias a Contar.

Deje $S_3, S_6, S_{14}$ ser los conjuntos de 5 objetos que no contienen un 3, 6, y 14, respectivamente.

El número de conjuntos que se falta al menos 1 de 3, 6 o 14 es $$|S_3 \cup S_6 \cup S_{14}| = |S_3| + |S_6| + |S_{14}| - |S_3 \cap S_6| - |S_3\cap S_{14}| -|S_6\cap S_{14}| + |S_3\cap S_6\cap S_{14}|.$$

$|S_3| = \binom{20}{5}, |S_6| = \binom{17}{5}, |S_{14}| = \binom{9}{5},$

$|S_3 \cap S_6| = \binom{14}{5}, |S_3\cap S_{14}| = \binom{6}{5}, |S_6\cap S_{14}| = 0,$

$|S_3\cap S_6\cap S_{14}| = 0.$

La evaluación da 19810 como el número de series que faltan 1 de 3, 6 o 14. El número total de conjuntos de es $\binom{23}{5} = 33649,$ por lo que el número de conjuntos que no falta ninguno de los 3, 6, o 14 $$33649 - 19810 = \boxed{13839}.$$