¿Cuándo un producto interno induce una norma?

Question

Si consideramos un espacio vectorial $V$ sobre algún campo $F$ Sé que cuando el $F=\mathbb{R}$ o $ =\mathbb{C}$ , estableciendo $\|x\|=\left\langle{x,x}\right\rangle^\frac{1}{2}$ obtenemos una norma. Sin embargo, como el producto interior es una función con su imagen en $F$ ¿Qué sucede si consideramos cualquier $V$ sobre los números racionales? Por ejemplo, si tomamos $\mathbb{Q}^2$ en $\mathbb{Q}$ con el producto punto, entonces $v=(1,1)$ tiene norma $\sqrt{2}$ que no es racional. ¿Cómo se puede obtener una norma a partir de un producto interior dado en estos casos?

Answer 1

Un campo ordenado donde $a^2+b^2$ es siempre un cuadrado se llama Campo pitagórico . Como se observa, no todos los campos ordenados son pitagóricos, pero cada campo ordenado tiene una extensión pitagórica. Si realmente quieres $L^2$ -normas siempre puedes ampliar tu campo de tierra a un campo de extensión pitagórico.

Answer 2

Como ha señalado, para construir un espacio de producto interno necesitamos el campo base $F$ del espacio vectorial $V$ sea un subcampo cuadráticamente cerrado de $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$ (es decir, cada elemento de $F$ debe tener una raíz cuadrada en $F$ ).

Sin embargo, una norma es una función $n:V\rightarrow [0,+ \infty)$ a diferencia de un producto interno que es el mapa $\langle \cdot ,\cdot \rangle :V\times V\to F$ . En el caso del campo base $\mathbb{Q}$ Por lo tanto, no podemos construir un espacio de producto interno a partir del producto punto implícito en tu pregunta, pero sí podemos construir un espacio vectorial normado a partir de él.