Conjunto de números reales elementales sin combinación elemental

Question

Encontrar un conjunto de $n$ números reales tales que ninguno de ellos puede ser creado por la combinación de los otros elementales operaciones ($+, -, \times, /$).

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Esta pregunta surgió en mi intento de demostrar una $n$ dimensiones versión del teorema fundamental del álgebra; sin embargo, estoy interesado en la respuesta a esto independientemente de la relevancia que tiene para la cuestión conexa.

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He pensado en esto un poco, y hasta ahora mi mejor conjetura es la raíz cuadrada de la primera $n$ números primos. Claramente, este cumple por encima de propiedad sólo en la multiplicación, pero no estoy seguro de cómo probar esta adición, y especialmente para una combinación de los dos. Es probable que implican algunas declaraciones muy fuertes acerca de las sumas de cuadrados de las raíces, pero no estoy seguro de cómo proceder. Cualquier ayuda se agradece. (Tampoco estoy seguro de cómo etiquetar esta, como no sé a qué rama de las matemáticas preguntas como éstas pertenecen. Si alguien pudiera ayudar allí que sería apreciado).

Answer 1

Su idea funciona, que es debido a la no-trivial hecho de $\sqrt{p_n}\notin\Bbb Q[\sqrt 2,\sqrt 3,\ldots,\sqrt{p_{n-1}}]$. Para mostrar esto, me gustaría recurrir a la teoría de Galois, pero quizá en este caso especial permite a algo más elemental?

Deje $p$ ser una de las primeras y $S$ el conjunto de los números reales de la forma $a_1\sqrt{m_1}+\ldots+a_n\sqrt{m_N}$, donde $a_i\in\Bbb Q$ e $1,m_1,\ldots, m_n$ son distintos plaza libre de enteros no divisible por $p$. El conjunto $S$

• contiene $\sqrt q$ para todos los números primos $q\ne p$, obviamente
• es cerrado bajo $+$ e $-$, obviamente
• es un poco menos, obviamente, cerrado bajo la multiplicación, pero señalando que $a\sqrt m\cdot a'\sqrt{m'}=aa'\gcd(m,m')\sqrt{\frac m{\gcd(m,m')}\frac {m'}{\gcd(m,m')}}$ ayuda
• es incluso menos, obviamente, cerrado bajo la división: Vamos a $q_1,\ldots, q_r$ ser los números primos que ocurren en la radicands $m_i$. Podemos escribir $a_1\sqrt{m_1}+\ldots +a_n\sqrt{m_n}$ como $\alpha+\beta\sqrt {q_r}$, donde sólo el $q_1,\ldots, q_{r-1}$ se producen en el radicands utilizado para $\alpha$ o $\beta$. A continuación, $(\alpha+\beta\sqrt {q_r})(\alpha-\beta\sqrt {q_r})=\alpha^2-q_r\beta^2$ y por inducción en $r$, podemos suponer que la $\alpha^2-q_r\beta^2$ tiene una inversa en $S$; multiplicando el con $\alpha-q_r\sqrt \beta$ nos da una relación inversa entre el número original

Llegamos a la conclusión de que $\sqrt p$ no puede ser obtenido a partir de todos los otros $\sqrt q$ por medio de la $+,-,\cdot,/$.

EDIT: Después de los hechos, me di cuenta de que uno también tiene que demostrar (una vez más, por inducción) que $a_1\sqrt{m_1}+\ldots +a_n\sqrt{m_n}=0$ sólo si todos los $a_i=0$. Sin esto, puede suceder que el $\alpha-\beta\sqrt{q_r}=0$.

Answer 2

AC es trivialmente que no se necesita para obtener un conjunto finito; el uso de la inducción y el hecho de que sólo hay countably muchas expresiones aritméticas que implican $n$ reales, para encontrar algo de real, que no es igual a ninguno de ellos.

Resulta que la elección no es necesario para obtener una contables conjunto. Deje $x_n$ ser el (único) real en $[0,1)$ cuyas $k$-ésimo dígito binario es $1$ fib $k$ es en el $n$-th Turing saltar. Por el unsolvability de la detención problema relativo a cualquiera de salto, es claro que $x_n$ ni siquiera puede ser calculada a partir de $x_{0..n-1}$, mucho menos ser igual a algunos expresión aritmética que los involucran. Además, si alguna de las $x_k$ es igual a algunos expresión aritmética que implican $x_{0..k-1}$ e $x_{k+1..n}$, para un mínimo de $n$, a continuación, $x_n$ es una raíz de algunos no-cero del polinomio con coeficientes computable de $x_{0..n-1}$, y por lo tanto es computable a partir de ellos, lo cual es imposible. Por lo tanto, ninguno de los $x_n$ puede ser igual a algunos expresión aritmética que involucran a los demás.

Answer 3

Bueno, usted puede hacer una diagonalización argumento para conseguir $\omega_1$ muchos de estos números estrictamente a través de la cuenta.

Elegir un arbitrario $a_0$ y cerrar en virtud de $(*,+,-,/)$ esto proporciona un conjunto $A_1$ que ha contables tamaño. Supongamos ahora que usted ya ha elegido a$a_i$ independiente para $i< k$. Deje $A_k$ es el cierre de $\{a_i\}_{i<k}$ bajo $(*,+,-,/)$ entonces $A_k$ es todavía contables (contables iteraciones sobre contables del conjunto de base finita de la firma). Así que elige $a_{k}\in \mathbb{R}\setminus A_k$.

Lo anterior muestra que usted puede conseguir una contables conjunto. Pero no es difícil continuar. El sucesor etapa de las obras tal como se dijo anteriormente. En un límite de $\beta$ usted acaba de tomar $A_\beta=\bigcup_{\alpha<\beta}A_\alpha$ y, a continuación, elija $a_\beta\in\mathbb{R}\setminus A_\beta$.

En realidad se puede ir todo el camino a $\mathfrak{c}$ en este camino.

La existencia también puede ser probado en un no-forma constructiva, haciendo notar que, si tenemos alguna serie o números reales $A$ tal que $|A|<\mathfrak{c}$ luego del cierre todavía tiene un tamaño de menos de $\mathfrak{c}$.

Nota: estoy asumiendo elección (AC) a lo largo de aquí.