Cómo encontrar soluciones de $x^2-3y^2=-2$?

Question

De acuerdo a MathWorld,

Pentagonal Triangular Número: Un número que es, simultáneamente, un número pentagonal $P_n$ y triangular número $T_m$. Tales números que existen cuando $$\frac{1}{2}n(3n-1)=\frac{1}{2}m(m+1).$$ Completando el cuadrado da $$(6n-1)^2-3(2m+1)^2=-2.$$ Sustituyendo $x=6n-1$ $y=2m+1$ da la Pell-como cuadrática de la ecuación de Diophantine $$x^2-3y^2=-2,$$ que tiene soluciones de $(x,y)=(5,3),(19,11),(71,41),(265,153), \ldots$.

Sin embargo, no se indica cómo estas soluciones para $(x,y)$ fueron obtenidos.

Sé que la solución de $(5,3)$ puede ser obtenido mediante la observación de que $1$ es un pentagonal y un número triangular.

¿La obtención de las soluciones que simplemente implican ensayo-y-error? O hay una manera de obtener estas soluciones?

Answer 1

$$\left( \begin{array}{cc} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} -1 \\ 1 \end{array} \right) \; = \; \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right),$$

$$\left( \begin{array}{cc} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right) \; = \; \left( \begin{array}{c} 5 \\ 3 \end{array} \right),$$

$$\left( \begin{array}{cc} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 5 \\ 3 \end{array} \right) \; = \; \left( \begin{array}{c} 19 \\ 11 \end{array} \right),$$

$$\left( \begin{array}{cc} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 19 \\ 11 \end{array} \right) \; = \; \left( \begin{array}{c} 71 \\ 41 \end{array} \right),$$

$$\left( \begin{array}{cc} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 71 \\ 41 \end{array} \right) \; = \; \left( \begin{array}{c} 265 \\ 153 \end{array} \right),$$

$$\left( \begin{array}{cc} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 265 \\ 153 \end{array} \right) \; = \; \left( \begin{array}{c} 989 \\ 571 \end{array} \right),$$

$$\left( \begin{array}{cc} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 989 \\ 571 \end{array} \right) \; = \; \left( \begin{array}{c} 3691 \\ 2131 \end{array} \right),$$

Bien. El teorema de Lagrange es que todos los valores de la forma cuadrática (que son primitivamente representado) se producen como resultado de la vecina formas método, la misma que haciendo fracciones continuas, si están por debajo de $\frac{1}{2} \; \sqrt \Delta$ en valor absoluto, donde en este caso $\Delta = 12.$ Así que la mitad de la raíz cuadrada de que es $\sqrt 3,$ $2$ es más grande que este. Esto significa que, mientras que $-2$ es permitido a aparecer por la continuación de la fracción método, es posible que inesperado representaciones pueden ocurrir. Sin embargo, uno puede comprobar con Conway topograph método de La Sensual Forma Cuadrática y confirmar que todas las apariencias de $-2$ a lo largo del "río" sí, es decir, la más simple posible de la colección, como lo ilustro con la matriz de multiplicaciones por encima. Para su placer de la visión, la topograph para $x^2 - 3 y^2,$ con una cantidad justa de detalle:

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Oh, bien. El $-2$ en las coordenadas $(5,3)$ va en la parte inferior derecha de espacio abierto, mientras que el $-2$ en las coordenadas $(-5,3)$ va en la parte inferior izquierda del espacio abierto. Si usted piensa acerca de ella el tiempo suficiente, cada borde en el árbol infinito, incluyendo la pequeña blue numerada de flecha y el valor en cualquier lado, es una forma cuadrática indefinida equivalente a $\langle 1,0,-3 \rangle,$, pero también es un elemento en $PSL_2 \mathbb Z$ dado por un poco de 2 por 2 matriz utilizando los dos vectores columna en verde.

Tenga en cuenta que el automorph $$\left( \begin{array}{cc} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{array} \right)$$ is visible as a pair of column vectors corresponding once again to $\langle 1,0,-3 \rangle,$ como, de hecho, debe ser.

Answer 2

Supongamos que hemos encontrado una solución particular de $x^2-3y^2=-2$, decir $(x_0,y_0)$. A continuación, podemos escribir $$(x_0+y_0\sqrt{3})(x_0-y_0\sqrt{3})=-2.$$ Tenga en cuenta que $2^2-3(1^2)=1$. Escribo esto como $$(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})=1.$$ La combinación de los dos resultados anteriores, podemos ver que $$(x_0+\sqrt{3}y_0)(2+\sqrt{3})(x_0-\sqrt{3}y_0)(2-\sqrt{3})=-2.$$ Expansión, obtenemos $$[2x_0+3y_0+\sqrt{3}(x_0+2y_0)] [2x_0+3y_0-\sqrt{3}(x_0+2y_0)]=-2.$$ Esto solo dice que $$(2x_0+3y_0)^2-3(x_0+2y_0)^3=-2.$$ Poner $x_1=2x_0+3y_0$, e $y_1=x_0+2y_0$. Hemos demostrado que $x_1^2-3y_1^2=-2$.

En general, una vez que hemos encontrado una solución a $(x_n,y_n)$ podemos encontrar otra solución, $(x_{n+1},y_{n+1})$ donde $$x_{n+1}=2x_n+ 3y_n \qquad\text{and}\qquad y_{n+1}=x_n+2y_n.$$

Comentario: La idea es muy antigua. Usted puede estar interesado en la búsqueda de la Brahmagupta Identidad.

Answer 3

Si eres un poco familiarizado con la teoría algebraica de números:

$x^2 - 3y^2$ es la norma del elemento $x + y\sqrt{3}$$\mathbb{Q}(\sqrt{3})$. Dada la evidente el elemento $1 + \sqrt{3}$ norma $-2$, todos los demás posibilidad difiere de la multiplicación por un elemento de norma $1$. Dirichlet de la unidad teorema caracteriza: todos los poderes de $2 + \sqrt{3}$ (a a $\pm 1$).

Así que las soluciones están dadas por $\pm x \pm y\sqrt{3} = (1 + \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})^n$$n \in \mathbb{Z}$.

Answer 4

Este es un tema que aparece una y otra vez. La forma cuadrática $m^2-3n^2$ pasa a ser la norma formulario para la cuadrática campo $\mathbb{Q}(\sqrt3)$. Esto es, cuando escriba $z=m+n\sqrt3$$\bar z=m-n\sqrt3$, se puede ver que $z\mapsto\bar z$ preserva tanto la multiplicación y la suma. Por lo $z\mapsto z\bar z$ también es multiplicativo, teniendo integral cosas en el campo a los enteros. Y toma el valor de $\pm1$ en el grupo de unidades del entero correspondiente anillo de $\mathbb{Z}[\sqrt3]$. Sabemos, a partir del estudio de la Ecuación de Pell, o de fracciones continuas, o de mucho más avanzados métodos, que cada unidad es de más o menos un poder de la primitiva unidad de $2+\sqrt3$.

Entonces, ¿qué? Si sólo se puede encontrar uno de estos cuadrática enteros, $z_0$, cuya "norma" $z\bar z$ es igual a $-2$, usted puede obtener todas las demás multiplicando por unidades. Pero, por supuesto, la norma de $1+\sqrt3$$-2$, que tiene su receta para encontrar de todo. Así: $(1+\sqrt3)(2+\sqrt3)=5+3\sqrt3$; $(1+\sqrt3)(2+\sqrt3)^2=19+11\sqrt3$, etc.

Answer 5

Como un enfoque alternativo que te gustaría investigar:

Si usted escribe $\sqrt{3}$ como una continuación de la fracción, se obtiene

$$1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{2+ \cfrac{1}{1+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{2+\cdots}}}}}}}}$$

Si, a continuación, calcular el parcial convergents por detener la continuación de la fracción después de un cierto punto, usted encontrará que las soluciones aparecen como los numeradores y denominadores de algunos de los convergents. Es un ejercicio interesante para decidir cuáles.