¿Es esta solución periódica única? (ODE)

Question

Entonces, para la EDO \begin{align} x' = -x^{3} + \sin t, \end{align> podemos mostrar que existe una solución periódica de $2\pi$. Para hacer esto, denotamos por \begin{align} x(t, \alpha) \end{align> La solución $x(t)$ de la EDO tal que $x(0) = \alpha$. Entonces, sea $\alpha \in [-2,2]$. Consideremos la función $f(\alpha) = x(2\pi, \alpha)$ \begin{align> x > 1 &\Rightarrow x' < 0 \\ x < 1 &\Rightarrow x' > 0.

Así, las soluciones que comienzan en $[-2,2]$ permanecen allí y podemos usar el teorema del punto fijo de Brouwer para mostrar que existe un punto fijo de $f$. Por lo tanto, existe algún $\alpha^{*}$ tal que $f(\alpha^{*}) = \alpha^{*}$, lo que representa la solución periódica $x(t, \alpha)$.

Ahora, mi pregunta: ¿Es única esta solución $2\pi$-periódica? ¿Existen otras soluciones periódicas de $2\pi$ de esta EDO? He empezado intentando restar dos soluciones periódicas entre sí pero esto no me ha llevado a ningún resultado productivo.

Answer 1

Deja que $v(t,)=\frac{\partial x}{\partial }(t,)$, entonces

• $v(0,)=1$ como $x(0,)=$ y
• la derivada de la ODE es $$ v'(t,)=-3x(t,)^2v(t,) $$ lo cual significa que $v$ está disminuyendo hacia cero, además $$ v(2,)=\exp\left(-3\int_0^{2}x(t,)^2\,dt\right) $$ y como no hay soluciones que sean constantemente cero, $0.

Por el argumento de contracción usual, esto excluye la existencia de múltiples puntos fijos de $f$, demostrando así la unicidad de la solución periódica.

_{<em>Un <a href="https://math.stackexchange.com/questions/3818343/prove-that-y-y3-sin-x-has-a-unique-solution-satisfying-y0-y2-pi">duplicado reciente</a> de esta pregunta con la misma ODE también preguntó por la unicidad después de un <a href="https://math.stackexchange.com/questions/2970212/solution-to-ode-x-x3-sin-t-and-showing-it-has-a-periodic-solution">duplicado no tan reciente</a> que solo preguntó por la existencia. Sentí que esta pregunta más específica era el lugar más apropiado para responder.</em>}

Answer 2

No es exactamente una respuesta, más bien una sugerencia. Dado que $x$ es diferenciable y periódica, si resulta ser periódica, tiene una serie de Fourier. Vamos a suponer que es un polinomio trigonométrico. La EDO te dice que hay algunas condiciones en los coeficientes, que puedes escribir explícitamente, y ahora puedes intentar resolver las ecuaciones una por una. ¿Qué sucede cuando intentas esto?