Diferencial en un punto y diferencial (Geometría diferencial)

Question

Dado $f\in C^\infty(U)$, $U$ conjunto abierto de $\mathbb{R}^n$, podemos definir la diferencial de $f$ $p$ $$ (df)_p:T_p\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}\\ (df)_p(v):=v(f) $$ y el diferencial de $f$ $$ df:U\T^*U\\ p\mapsto (p,(df)_p) $$ donde $T^*U$ es el cotagent paquete.

Puedo entender que $(df)_p$ es el mapa que asocia a cada punto, $p$ cualquier derivado $v$$f$. Mientras que $df$ es simplemente obtenidas por pegando todas estas diferencias locales.

Ahora me piden calcular la diferencial de la i-ésima coordenada del mapa de $x_i:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$.

Aquí está mi (unsuccesful) reasonement. Tengo que empezar por calcular, para cada $p$, $(dx_i)_p$. Por definición, $(dx_i)_p\in (T_p\mathbb{R^n})^*$ y el segundo conjunto está atravesado por $\{(dx_i)_p:1\le i\le n\}$. Ahora, estoy un poco confundido. Mi profesor se define la base de la $(T_p\mathbb{R}^n)^*$ como la base dual del plano tangente y de los símbolos $(dx_i)_p$ son sólo formal de símbolos, nada que ver con el diferencial. (¿Correcto?) Me gustaría continuar aplicando el diferencial de $x_i$ $p$ a un elemento general del espacio de la tangente $v=\sum_j v_j(\frac{\partial}{\partial x_j})_p$ $$ (dx_i)_p(v):=v_i $$ Entonces, ¿cómo iré?

Answer 1

Para eliminar la confusión de notación, deje que$\lambda^1,\ldots,\lambda^n$ sea la base dual de$\frac{\partial}{\partial x^1},\ldots,\frac{\partial}{\partial x^n}$. Luego, su objetivo es mostrar que$$d(x^i)=\lambda^i.$ $ es decir,$d(x^i)=dx^i$, donde más adelante se encuentra el símbolo formal que generalmente se usa para$\lambda^i$. Tenga en cuenta que esto justifica la notación$dx^i$.

Ahora, calcule:$$d(x^i)\left(\frac{\partial}{\partial x^j}\right)=\frac{\partial}{\partial x^j}x^i=\delta^i_j=\lambda^i\left(\frac{\partial}{\partial x^j}\right).$ $ Por lo tanto,$d(x^i)$ está de acuerdo con$\lambda^i$ sobre una base, por lo que deben ser iguales.

Answer 2

Por lo que los argumentos, se llegó a la respuesta correcta: $dx_i$ calcula en cada punto de $p\in{\mathbb R}^n$ $i$th coordenadas de cualquier vector tangente $v$ conectado a $p$.

Una manera sencilla de ver esto es la siguiente: $x_i(\cdot)$ puede ser considerado como un valor real de la función en ${\mathbb R}^n$. Con el fin de calcular el diferencial de $dx_i(p)$ tenemos que buscar en incrementos de $$\Delta x_i(v):=x_i(p+v)-x_i(p)$$ y para determinar una aproximación para $\Delta x_i(v)$ que es lineal en $v$ al $v\to0$. Ahora en este caso especial de una aproximación no es necesario en absoluto, ya que $$\Delta x_i(v)=v_i$$ is already linear in $v$. This implies that the differential $dx_i(p)$ es dada por $$dx_i(p).v= v_i\ ,$$ independientemente del punto de $p$ bajo consideración.