¿La ortogonalidad compartida implica proporcionalidad de productos internos para espacios de dimensión infinita?

Question

En esta respuesta , probé que para$V$ un espacio vectorial sobre un campo$F$ de dimensión finita y$\langle ,\rangle _1$,$\langle ,\rangle _2$ dos productos internos definidos en él de manera tal que

PS

Luego$$\langle v,w\rangle _1=0\iff \langle v ,w\rangle _2=0 \tag{H}.$ para un escalar$\langle v,w\rangle _1=c\langle v,w\rangle _2$.

¿Se mantiene el resultado para espacios vectoriales de dimensiones infinitas?

Answer 1

Creo que la respuesta es sí.

Lema:

Deje $V$ ser un espacio vectorial y $f,g$ dos lineal funcionales en $X$ tal que $\ker g \subseteq \ker f$. Entonces existe un escalar $c$ tal que $f = cg.$

Ahora, fix $w \in V$ y considerar los funcionales lineales $v \mapsto \langle v, w\rangle_1$$v \mapsto \langle v, w\rangle_2$. Sus núcleos son iguales, por lo que existe un escalar $c(w)$ dependiendo $w$ tal que $$\langle v, w\rangle_1 = c(w) \langle v, w\rangle_2, \forall v \in V$$

Ahora, por medio de la simetría:

$$c(w) \langle v, w\rangle_2 = \langle v, w\rangle_1 = \overline{\langle w, v\rangle_1} = \overline{c(w) \langle w, v\rangle_2} = \overline{c(v)}\langle v, w\rangle_2$$

Llegamos a la conclusión de $c(w) = \overline{c(v)}$ todos los $w,v$ tal que $\langle v, w\rangle \ne 0$. Ya que podemos variar $v$ $w$ independiente, llegamos a la conclusión de que $c(w)$ es en realidad una constante escalar $c$.

Por lo tanto $\langle v, w\rangle_1 = c \langle v, w\rangle_2$ todos los $v,w \in V$.