Proyección sobre el producto tensorial de Hilbert Space

Question

Deje que$H$ sea un espacio de Hilbert de dimensión finita$n \ge 2$. Deje que$\{v_1,...,v_n\}$ sea una base ortonormal de$H$. Considere el producto tensor$V \otimes V$ y las proyecciones$e_1$ en el subespacio$\mathbb{C}(v_1+\cdots+v_n) \otimes V$ de$V \otimes V$, y$e_2$ en el subespacio$\oplus_{j=1}^n \mathbb{C}(v_j \otimes v_j)$ de$V \otimes V$.

Estoy empezando a jugar con productos de tensor, por lo que me gustaría ver por qué el siguiente es el caso. Para todos los$j,k \in \{1,\ldots,n\}$, tenemos

PS

PS

Answer 1

Deje $w = \frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{k=1}^n v_k$. A continuación, $\{w\}$ es un ortonormales base para $E := \mathbb{C}(v_1+\cdots+v_n)$, y, por tanto, $\{w \otimes v_1, \dotsc, w \otimes v_k\}$ es un ortonormales base para $E \otimes V$, por lo que la proyección ortogonal en $E \otimes V$ es $$ P_{E \otimes V} = \sum_{k=1}^n \left|w \otimes v_k \right\rangle \left\langle w \otimes v_k \right|. $$ Desde $\left\langle w \mid v_k \right\rangle = \tfrac{1}{\sqrt{n}}$ por cada $k$, se deduce que $$ P_{E \otimes V} (v_i \otimes v_j) = \sum_{k=1}^n \left|w \otimes v_k \right\rangle \left\langle w \otimes v_k \right|(v_i \otimes v_j)\\ = \sum_{k=1}^n \langle w \a mediados de v_i \rangle \langle v_k \mediados de v_j \rangle(w \otimes v_k) = \frac{1}{\sqrt{n}} w \otimes v_j \\ = \left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n v_l \right) \otimes v_j $$ para cualquier $i$$j$, según se requiera.

Ahora, vamos a $F = \oplus_{k=1}^n \mathbb{C}(v_k \otimes v_k)$. A continuación, $F$ admite que la base ortonormales $\{v_k \otimes v_k\}_{k=}^n$, por lo que la proyección ortogonal en $F$ es $$ P_F = \sum_{k=1}^n \left| v_k \otimes v_k \right\rangle \left\langle v_k \otimes v_k \right|, $$ así que $$ P_F(v_i \otimes v_j) = \sum_{k=1}^n \left| v_k \otimes v_k \right\rangle \left\langle v_k \otimes v_k \right|(v_i \otimes v_j)\\ = \sum_{k=1}^n \left\langle v_k \mediados de v_i \right\rangle\left\langle v_k \mediados de v_j \right\rangle v_k \otimes v_k\\ = \sum_{k=1}^n \delta_{ki}\delta_{kj} v_k \otimes v_k\\ = \delta_{ij} v_j \otimes v_j\\ = \delta_{ij} v_i \otimes v_j. $$

Por supuesto, desde la $\{v_k \otimes v_k\}_{j=1}^n$ es un subconjunto de la base ortonormales $\{v_i \otimes v_j\}_{i,j=1}^n$, se deduce directamente que $v_i \otimes v_j \in F := \operatorname{span}\{v_k \otimes v_k\}_{j=1}^n$ si y sólo si $v_i \otimes v_j \in \{v_k \otimes v_k\}_{j=1}^n$, si y sólo si $i=j$, mientras que el $v_i \otimes v_j \in F^\perp = \{v_k \otimes v_k \mid 1 \leq k \leq n\}^\perp$ si y sólo si $v_i \otimes v_j \notin \{v_k \otimes v_k\}_{j=1}^n$, si y sólo si $i \neq j$, lo que directamente los rendimientos de $P_F (v_i \otimes v_j) = \delta_{ij} v_i \otimes v_j$.