Tengo dos matrices positivas-definidas $A$ y $B$ (no necesariamente simétrico), y tenemos $AB=BA$ ¿existe algún teorema que asegure que el producto de $A$ y $B$ , $AB$ es positiva definida? ¿O semipositiva definida?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
mathematiccian
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154
Si $A$ y $B$ son positivas definidas, entonces para los casos de $x$ tenemos $x^TAx >0$ y $x^T Bx>0$ para que $$x^TAxx^TBx >0$$ ahora $$x^TAxx^TBx = x^TA\|x\|^2Bx =\|x\|^2(x^TABx) >0$$ Desde $\|x\|^2>0$ es la longitud de $x$ tenemos que también $x^TABx>0$ para todo lo que no sea cero $x$ . Así, $AB$ también es positiva definida.
Saeed Manaffam
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Desde $A$ y B son conmutables, $AB=BA$ por lo que son diagonalizables conjuntamente con una matriz unitaria, $U$ , $U^\dagger U=I$ :
$A=U^\dagger D_A U$
$B=U^\dagger D_B U$
por lo que
$AB=U^\dagger D_A U U^\dagger D_B U=U^\dagger D_A D_B U$ .
Ahora bien, si las entradas de $D_A$ y $D_B$ son positivos (no negativos), es decir, $A$ y $B$ son P.D. (P.S.D.) entonces $AB$ es P.D. (P.S.D).
