Por qué las palabras "interior" y "exterior" para designar productos?

Question

¿Alguien sabe cuál es la justificación para el uso de los adjetivos interior y exterior para ciertos algebraica de los productos?

Además, he visto que el término álgebra exterior. ¿El exterior aquí tienen nada que ver con el exterior del exterior de productos? Si es así, hay un interior álgebra correspondiente al interior de productos?

Answer 1

Tomar el producto directo de dos grupos. En el interior de la versión, se le da a un grupo de $G$, y dos subgrupos $H, K$, de tal manera que $H \cap K = \{ 1 \}$, e $H, K$ conmutar elementwise. A continuación, el subgrupo $\langle H, K \rangle$ es llamado el interior producto directo de la $H$$K$, como todo lo que tiene lugar en el interior de $G$.

Alternativamente, si sólo se dan dos grupos de $H$$K$, usted puede construir un grupo de $P$ en el conjunto de $H \times K$, con la multiplicación de la regla de $(h_1, k_1) (h_2, k_2) = (h_1 h_2, k_1 k_2)$. Esta es la llamada externa directa del producto, como usted puede decir que usted vaya fuera de $H$ $K$ construir $P$.

Ahora $H' = \{ (h, 1) : h \in H\}$ es un subgrupo de $P$ isomorfo a $H$, e $K' = \{ (1, k) : k \in K\}$ es un subgrupo de $P$ isomorfo a $K$. Se verifica que $H' \cap K' = \{ 1 \}$, $H', K'$ conmutar elementwise, y que el interior del producto de $H', K'$ dentro $P$ es isomorfo al exterior producto directo de la $H, K$.

Answer 2

No tengo idea de cuál es la verdadera razón. Pero los elementos de álgebra exterior muy a menudo representa sub-espacios vectoriales espacio y en el exterior producto de dos elementos representa la unión de estos dos sub-espacios interiores y producto representa su intersección.

De ahí los nombres de:

interior más grande subespacio dentro de

exterior - menor subespacio fuera

Answer 3

Si usted piensa de vectores columna como matrices que no se puede multiplicar directamente a ellos, porque ellos son el mal de las formas. Usted tiene que tomar la transposición de uno de ellos. Si se toma el producto interior $$\left( \begin{array}{c} x_1\\y_1\\z_1\end{array}\right)\cdot\left( \begin{array}{c} x_2\\y_2\\z_2\end{array}\right) = \left( \begin{array}{c} x_1\\y_1\\z_1\end{array}\right)^T\left( \begin{array}{c} x_2\\y_2\\z_2\end{array}\right)$$ El $T$ va en el interior, si usted toma el exterior del producto $$\left( \begin{array}{c} x_1\\y_1\\z_1\end{array}\right)\otimes\left( \begin{array}{c} x_2\\y_2\\z_2\end{array}\right) = \left( \begin{array}{c} x_1\\y_1\\z_1\end{array}\right)\left( \begin{array}{c} x_2\\y_2\\z_2\end{array}\right)^T$$ el $T$ va en el exterior.

La idea ha sido extraída de los vectores columna a otras áreas, pero el nombre se quedó.

Answer 4

El exterior del producto, tiene una relación directa con el exterior del producto en la dimensión $3$. Considerar las relaciones fundamentales:

$$\begin{aligned} i \times i &= 0\\ j \times j &= 0\\ k \times k &= 0\\ i \times j &= k\\ j \times k &= i\\ k \times i &= j \end{aligned}$$ Ahora, mira las relaciones de $1$formas de:

$$\begin{aligned} dx \wedge dx &= 0\\ dy \wedge dy &= 0\\ dz \wedge dz &= 0 \end{aligned}$$

Ahora, asociar $dx, dy, dz$$i, j, k$, y asociar $dx \wedge dy, dy \wedge dz, dz \wedge dx$$i, j, k$. Eso es sólo la dualidad.