Resuelve la ecuación de piso sobre números reales:$\lfloor x \rfloor + \lfloor -x \rfloor = \lfloor \log x \rfloor$

Question

Considerar : $\lfloor x \rfloor + \lfloor -x \rfloor = \lfloor \log x \rfloor$. ¿Cómo podemos resolverlo sobre números reales?

Mi intento: traté de resolverlo en varios intervalos pero no obtuve ningún resultado.

¡Por favor ayuda!

Answer 1

Insinuación:

Si$x \in \mathbb Z$$$\lfloor x \rfloor + \lfloor -x \rfloor =0$ $

Si$x \not\in \mathbb Z$$$\lfloor x \rfloor + \lfloor -x \rfloor =-1$ $

Caso 1)$$\lfloor \ln x \rfloor=0$ $$$0\le \ln x<1$ $$$1\le x<e$ $$$x \in \{1,2\}$ $

Caso 2)$$\lfloor \ln x \rfloor=-1$ $$$-1\le \ln x<0$ $$$\frac 1e\le x<1 $ $

Answer 2

Sabemos que si$x \in \mathbb Z$$$\lfloor x \rfloor + \lfloor -x \rfloor =0$ $

Y si$x \not\in \mathbb Z$$$\lfloor x \rfloor + \lfloor -x \rfloor =-1$ $

Así que podemos ver fácilmente que las soluciones son$x \in \mathbb Z \in [1,e) $ y$x \not\in \mathbb Z \in [\frac {1}{e},1) $. Espero eso ayude.

Answer 3

Insinuación:

tenga en cuenta que:

$ \ lfloor x \ rfloor + \ lfloor -x \ rfloor = 0 $ if$x \in \mathbb{Z}$, y

$ \ lfloor x \ rfloor + \ lfloor -x \ rfloor = -1 $ si$x$ no es un número entero.

Answer 4

Para cada valor entero, LHS es igual a$0$, para cada valor no entero es$-1$.

Entonces encuentre los valores enteros st$0 \le \log x < 1$ y encuentre todos los no enteros st$-1 \le \log x < 0$

Answer 5

El rango de$[x]+[-x]$ será$\{-1,0\}$. Si$x$ es entero, entonces$0$, si no es entero entonces$-1$.

$[\log x]$ debería ser$\{-1,0\}$$\Rightarrow$$\log x$ puede tomar valores$[-1,1)$$\Rightarrow$$x$ puede tomar valores de$[e^{-1},e)$.

Por lo tanto, la solución es$[e^{-1},1]\bigcup\{2\}$.