Una función en términos de otra función

Question

Tengo dos funciones que son polinomios. Por ejemplo: $$F=x^2+2x+1 \hspace{5mm} \text{ and } \hspace{5mm} G=2x^2-x+2$$ Necesito escribir una de estas dos funciones en términos de la otra. Para el ejemplo anterior la respuesta sería: $G$ en función de $F$ es: $G=2F-5F^{1/2}+5$ Como saben, dependiendo de la complejidad de $F$ y $G$ hacer una manipulación de este tipo puede ser muy difícil. Por lo tanto, me pregunto si hay una forma matemática conocida para hacer esta manipulación algebraica. Tenga en cuenta que el formato general de $F$ y $G$ es siempre como se indica a continuación: $$F=\sum(ai × xi^i)|i=0,1,2,…,N$$ $$G=\sum(bi × xi^i)|i=0,1,2,…,N$$ Gracias.

Answer 1

Creo que esto no siempre es posible. Para su ejemplo, tenga en cuenta que: $$H(x):=2F(x)-5\sqrt{F(x)}+5=2x^2+4x+2-5\sqrt{(x+1)^2}+5=2x^2+4x-5|x+1|+7$$ es una forma diferente $G(x)$ ya que, para $x=-2$ que tenemos: $$H(-2)=2\neq12=G(-2)$$ En general, $\sqrt{F(x)}$ no es diferenciable en cada cero de $f$ por lo que no puede ser una función polinómica, ya que toda función polinómica es infinitamente diferenciable. Por lo tanto, no podemos incluir tales expresiones en nuestra fórmula final.

Ahora, dejemos que $F(x),G(x)$ sean dos polinomios de grados $n,m$ respectivamente. Entonces, por el algoritmo de la división euclediana tenemos que existen dos polinomios únicos $p(x),q(x)$ tal que: $$G(x)=p(x)F(x)+q(x),\ \deg(q(x))<\deg(F(x))\text{ or }q(x)=0.$$ Si $n\neq m$ Al parecer, ya que $\deg(q(x))<\deg(F(x))$ no podemos escribir $q(x)$ en términos de $F(x)$ por lo que nuestro problema no tiene solución en este caso. Si $n=m$ (que es el caso que describes), tenemos que $p(x)=c$ para algunos $c\in\mathbb{R}$ Así que..: $$G(x)=cF(x)+q(x),\ \deg(q(x))<\deg(F(x))\text{ or }q(x)=0.$$ Para $n=1$ Al parecer, el problema tiene solución, ya que $q(x)=r\in\mathbb{R}$ Así que..: $$G(x)=cF(x)+r.$$ Para $n=2$ tenemos que $\deg(q(x))<2$ por lo que, en el caso de que $\deg(q(x))=1$ no podemos resolver el problema ya que un polinomio lineal no puede escribirse en términos de un polinomio de grado superior sin involucrar funciones no polinómicas. Por ejemplo, tomemos $F,G$ como se indica en su ejemplo: $$G(x)=2x^2-x+2=2F(x)-5x.$$ Ahora es evidente que se puede escribir $G$ en términos de $F$ si y sólo si $q(x)=0$ .

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¡Atención!

En todo lo anterior se supone que las únicas funciones permitidas son los polinomios y que queremos dos expresar $G$ en términos de $F$ utilizando sólo escalares, suma y multiplicación. Si uno deja, por ejemplo, la síntesis de funciones, tiene varias formas de escribirla. La primera es considerar el polinomio de dos variables: $$T_q(x,y)=cy+q(x)$$ (utilizando la notación anterior). Ahora es evidente que: $$G(x)=T_q(x,F(x)).$$ Otra forma es -utilizando su ejemplo- observar que: $$G(x)=2F\left(x-\frac{1}{4}\right)+\frac{7}{16}.$$

Este último tiene también un bonito significado geométrico: para $n=2$ Toda parábola -secrita por un polinomio- puede transformarse en cualquier otra parábola mediante una traslación vertical $\left(\frac{7}{16}\right)$ , una trnaslación horizontal $\left(\frac{1}{4}\right)$ y una transformación de escala $(2)$ .

Intentemos ahora generalizar este resultado a todo polinomio. Así, queremos demostrar que, si $F,G$ son dos polinomios del mismo grado, entonces existen $a,b,c\in\mathbb{R}$ tal que: $$G(x)=aF(x-b)+c.$$ Al principio, es evidente que, si $a=\frac{b_n}{a_n}$ , donde $a_n,b_n$ son los coeficientes del término de mayor potencia de $F,G$ respectivamente y $n$ es su grado. Pero, para nuestra frustración, no podemos ir más allá, ya que, si, por ejemplo $G(x)=x^3+x+1$ y $F(x)=x^3$ podemos elegir $a=1$ pero, para cada elección de $b,c$ , de tal manera que $c-b^3=1$ tenemos: $$F(x-b)+c=(x-b)^3+c=x^3-3bx^3+3b^2x-b^3+c=x^3-3bx^2+3b^2x+1.$$ Ya que exigimos que $F(x-b)+c=G(x)$ Por un lado, deberíamos tener $b=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}$ pero, por otro lado, no debería haber ningún término cuadrático, por lo que deberíamos tener $b=0$ , lo cual es una contradicción.

Intuitivamente, esto también era de esperar ya que $yx^3$ no tiene extremos, pero, en cambio, sí existen curvas de tercer grado que tienen extremos y las traslaciones y transformaciones de escala no afectan a la existencia y número de extremos. Lo mismo ocurre con las curvas de mayor grado que tienen diferentes números de extremos, que no dependen "estrictamente" de su grado (pensemos en $y=x^4$ y $y=x^4-x+1$ ).

Además, otra forma de demostrar que, aunque tales números existieran, no siempre podríamos calcularlos, al menos para $n>4$ es que, si eso fuera cierto, entonces, para cada polinomio $P$ con grado $n\geq5$ existiría $a,b,c\in\mathbb{R}$ tal que..: $$P(x)=a(x-b)^n+c$$ por lo que la ecuación polinómica $$P(x)=0$$ equivaldría a lo siguiente: $$a(x-b)^n+c=0\Leftrightarrow(x-b)^n=-\frac{c}{a}$$ que podemos determinar fácilmente si tiene (alguna) solución y, además, esta solución es algebraico que se contradice con la Teorema de Abel-Ruffini si suponemos que podemos derivar los coeficientes $a,b,c$ de $P$ .