Intuición detrás de$\zeta(-1)$ =$\frac{-1}{12}$

Question

Cuando lo vi por primera vez numberphile del 1+2+3+... = $\frac{-1}{12}$ pensé que la suma realmente igualado $\frac{-1}{12}$ sin realmente entender.

Recientemente, he leído algunos wolframalpha páginas y visto algunos videos y ahora entiendo (creo), que $\frac{-1}{12}$ es sólo un asociativa valor a la suma de todos los números naturales cuando analíticamente continuar la riemann zeta función. 3Blue1Brown del video realmente me ayudó. Lo que realmente no entiendo es por qué se da el valor de $\frac{-1}{12}$ específicamente. El valor de $\frac{-1}{12}$ parece arbitrario a mí y yo no veo ninguna conexión a la suma de todos los números naturales. Hay alguna intuición detrás de por qué usted consigue $\frac{-1}{12}$ cuando analíticamente continuar con la zeta de la función en $\zeta(-1)$?

EDITAR(sólo para hacer mi pregunta un poco más claro): Voy a usar un ejemplo aquí. Supongamos que de alguna manera, no sabía acerca de radianes y nunca asociada funciones trigonométricas como seno a $\pi$, pero que sabía acerca de maclaurin de expansión. Mediante la conexión de x=$\pi$ a la expansión de la serie de seno, usted recibiría sine($\pi$) = 0. Usted podría haber entendido el proceso en el cual se obtiene el valor 0, la de maclaurin de expansión, pero no saben realmente la intuición detrás de esta conexión entre el $\pi$ y funciones trigonométricas, es decir, el círculo unidad, que es esencial en casi todas las ramas de la teoría de números.

De vuelta a esta pregunta, entiendo que la continuación analítica de la función zeta y su forma continuada para $s < 0$ $$\zeta(s)=2^s\pi^{s-1}\sin\frac{\pi s}2\Gamma(1-s)\zeta(1-s)$$ and how when you plug in s = -1, things simplify down to $\frac{-1}{12}$ but I don't see any connection between the fraction and the infinite sum. I'm sure there is a beautiful connection between them, like the one between trig functions and $\pi$, pero no podía encontrar nada de recursos útiles en internet. Espero que esto aclaró las cosas.

Answer 1

No es realmente una buena respuesta por el maestro Terence Tao en su blog.

El de Euler-Maclaurin de la fórmula, los números de Bernoulli, La zeta y de función real de variable continuación analítica/

Esto muestra que suavizan las sumas $\eta$ $\sum\limits_{n\le N}n^s\,\eta(n/N)$ tiene una parte divergente en $N^{s+1}$ y una parte convergente $-\frac{B_{s+1}}{s+1}$.

La segunda parte del artículo se muestra cómo se relaciona con el análisis de continuación en el plano complejo.

Answer 2

En la ecuación de $(10)$ de esta respuesta, es mostrado, a través de la de Euler-Maclaurin Fórmula de la Suma, que la continuación analítica de la función zeta de $\newcommand{\Re}{\operatorname{Re}}\Re(z)\gt-3$ está dado por $$ \zeta(z)=\lim_{n\to\infty}\left[\sum_{k=1}^n{k^{-z}}-\frac1{1-z}n^{1-z}-\frac12n^{-z}+\frac{z}{12}n^{-1-z}\right]\tag{1} $$ Tenga en cuenta que para $\Re(z)\gt1$, los términos más allá de la suma se desvanecen y nos quedamos con la conocida definición de la $\zeta(z)$: $$ \zeta(z)=\sum_{n=1}^\infty n^{z}\etiqueta{2} $$

Para $z=-1$, $(1)$ se convierte en $$ \begin{align} \zeta(-1) &=\lim_{n\to\infty}\left[\sum_{k=1}^nk-\frac12n^2-\frac12n-\frac1{12}\right]\\ &=\lim_{n\to\infty}\left[\frac{n^2+n}2-\frac12n^2-\frac12n-\frac1{12}\right]\\[3pt] &=-\frac1{12}\tag{3} \end{align} $$

Además, para $z=0$, $(1)$ se convierte en $$ \begin{align} \zeta(0) &=\lim_{n\to\infty}\left[\sum_{k=1}^n1-n-\frac12+\frac0{12n}\right]\\ &=\lim_{n\to\infty}\left[n-n-\frac12+\frac0{12n}\right]\\[3pt] &=-\frac12\tag{4} \end{align} $$ y para $z=-2$, $(1)$ se convierte en $$ \begin{align} \zeta(-2) &=\lim_{n\to\infty}\left[\sum_{k=1}^nk^2-\frac13n^3-\frac12n^2-\frac16n\right]\\ &=\lim_{n\to\infty}\left[\frac{2n^3+3n^2+n}6-\frac13n^3-\frac12n^2-\frac16n\right]\\[9pt] &=0\tag{5} \end{align} $$

Answer 3

Lo siguiente es tomado de esta respuesta.

El uso de la Dirichlet Eta de la función y de la integración por partes dos veces, obtenemos $$ \begin{align} (1-2^{1-z})\zeta(z)\Gamma(z) &=\eta(z)\Gamma(z)\\ &=\int_0^\infty\frac{x^{z-1}}{e^x+1}\,\mathrm{d}x\\ &=\frac1z\int_0^\infty\frac{x^ze^x}{\left(e^x+1\right)^2}\,\mathrm{d}x\\ &=\frac1{z(z+1)}\int_0^\infty\frac{x^{z+1}\left(e^{2x}-e^x\right)}{\left(e^x+1\right)^3}\,\mathrm{d}x\\ \end{align} $$ Multiplicar por $z(x+1)$ para obtener $$ (1-2^{1-z})\zeta(z)\Gamma(z+2)=\int_0^\infty\frac{x^{z+1}\left(e^{2x}-e^x\right)}{\left(e^x+1\right)^3}\,\mathrm{d}x $$ Conectar $z=-1$, da una bastante simple integral. $$ \begin{align} (1-2^2)\zeta(-1)\Gamma(1) &=\int_0^\infty\frac{e^{2x}-e^x}{(e^x+1)^3}\mathrm{d}x\\ &=\int_1^\infty\frac{u-1}{(u+1)^3}\mathrm{d}u\\ &=\int_1^\infty\left(\frac1{(u+1)^2}-\frac2{(u+1)^3}\right)\mathrm{d}u\\ &=\frac14 \end{align} $$ Esto le da $$ \bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{\zeta(-1)=-\frac1{12}} $$

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La relación entre el $\boldsymbol{\zeta(z)}$ $\boldsymbol{\eta(z)}$

Una corriente alterna suma puede ser visto como la suma de la no alternancia de los términos menos el doble de la suma de los términos. $$ \begin{align} \eta(z) &=\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}}{n^z}\\ &=\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^z}-2\sum_{n=1}^\infty\frac1{(2n)^z}\\ &=\left(1-2^{1-z}\right)\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^z}\\[6pt] &=\left(1-2^{1-z}\right)\zeta(z) \end{align} $$

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La integral de $\boldsymbol{\eta(z)\Gamma(z)}$ $$ \begin{align} \int_0^\infty\frac{x^{z-1}}{e^x+1}\,\mathrm{d}x &=\int_0^\infty x^{z-1}\sum_{k=1}^\infty(-1)^{k-1}e^{-kx}\,\mathrm{d}x\\ &=\sum_{k=1}^\infty\frac{(-1)^{k-1}}{k^z}\int_0^\infty x^{z-1}e^{-x}\,\mathrm{d}x\\[6pt] &=\eta(z)\Gamma(z) \end{align} $$

Answer 4

Tenemos la ecuación funcional para$\;\zeta\;$:

PS

lo que permite extender la definición habitual de la función zeta como series infinitas a$$\zeta(s)=2^s\pi^{s-1}\sin\frac{\pi s}2\Gamma(1-s)\zeta(1-s)$, y luego:

PS

Answer 5

Una prueba elemental no

Tenga en cuenta que $\dfrac{1}{(1-z)^2}=\sum\limits_{k=0}^\infty\,(k+1)\,z^{k}$ conduce a $$\beta = 1-2+3-4+\ldots=\frac{1}{\big(1-(-1)\big)^2}=\frac{1}{4}\,.$ $ por lo tanto, si $\alpha =1+2+3+\ldots$ y $$\alpha-\beta =4+8+12+\ldots=4\,(1+2+3+\ldots)=4\,\alpha \,.$ $, $$\zeta(-1)=\alpha=-\frac{\beta}{3}=-\frac{1}{12}\,.$ $

Esperanza de ayuda.