Prueba de la fórmula para la primitiva de $\sec x$

Question

¿Cómo pruebo que integral indefinido de $\sec x$ es igual a $\ln(\sec x + \tan x) + C$?

He intentado sustituir $t = \cos x$ pero que no ayuda. No tengo ni idea de cómo integrarlo en cualquier otra forma, y mi libro de texto no ofrece una derivación.

Answer 1

$$\sec x=\frac1{\cos x}=\frac{\cos x}{\cos^2x}=\frac{\cos x}{1-\sin^2x}$ $ $u=\sin x$ De sustituir y utilizar el método de fracciones parciales.

Desde $$\frac1{1-u^2}=\frac12\left(\frac1{1+u}+\frac1{1-u}\right)$ $ llegar así $$\int\sec xdx=\int\frac{du}{1-u^2}=\frac12(\ln(1+u)-\ln(1-u))=\ln\sqrt{\frac{1+u}{1-u}}.$ $ $$\frac{1+u}{1-u}=\frac{1+\sin x}{1-\sin x}=\frac{(1+\sin x)^2}{1-\sin^2x}=\frac{(1+\sin x)^2}{\cos^2x}=\left(\frac{1+\sin x}{\cos x}\right)^2=(\sec x+\tan x)^2$ $ ahora $$\int\sec xdx=\ln\sqrt{\frac{1+u}{1-u}}=\ln\sqrt{(\sec x+\tan x)^2}=\ln|\sec x+\tan x|.$ $

Answer 2

Como Travis, la diferenciación es la mejor manera de hacerlo.

Pero curiosamente, esta pregunta era una pregunta abierta importante en el siglo de mid-17th (antes de la invención del cálculo). Ver por ejemplo esta página web de mina

Answer 3

Es típicamente muy fácil de comprobar si una función $F(x)$ es una primitiva de una función $f(x)$; por definición, usted sólo necesita comprobar %#% $ #%

En este caso, decir $$F'(x) = f(x).$ $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ $ y así (por definición) $$\frac{d}{dx} \log(\sec x + \tan x) = \frac{\frac{d}{dx}(\sec x + \tan x)}{\sec x + \tan x} = \frac{\sec x \tan x + \sec^2 x}{\sec x + \tan x} = \frac{(\sec x + \tan x) \sec x}{\sec x + \tan x} = \sec x,$ $ (aquí el valor absoluto señales simplemente representan la posibilidad de que está integrando en un intervalo en que $$\int \sec x \, dx = \log |\sec x + \tan x| + C.$, y puede justificar esta fórmula usando el % de identidades $\sec x + \tan x

Answer 4

Sugerencia: Escriba $$\sec x = \sec x \left(\frac{\sec x + \tan x}{\sec x + \tan x}\right)$$ and remember what the derivatives of $\sec x$ and $\tan x$ son.