Este es un ejercicio de Kelley del libro. Podría alguien ayudar a mostrar a una prueba?
Parece muy natural, y es fácil demostrar mediante la utilización de la función arctan en $\mathbb{R}^1$. Muchas gracias.
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3ª edición: ahora he escrito cosas en un poco más de manera más eficiente:
http://relaunch.hcm.uni-bonn.de/fileadmin/geschke/papers/ConvexOpen.pdf
Respuesta anterior:
¿Qué tal esto: Llame a un conjunto de $U\subseteq\mathbb R^n$ en forma de estrella si hay un punto de $x\in U$ tal que para todas las líneas, $g$ a través de $x$, $g\cap U$ es un conectada, abrir segmento de línea. Cada conjunto convexo es en forma de estrella. Traducir $U$ si es necesario, podemos suponer que la $x=0$. Ahora uso arctan a la mapa $U$ homeomorphically a un conjunto acotado. Este conjunto está todavía en forma de estrella alrededor de $x=0$.
Ahora la escala de cada rayo de $0$ a la frontera de el abra apropiadamente, la obtención de un homeomorphism desde el conjunto abierto en al abrir la unidad de la bola.
Edit: siento mucho que no me de respuesta a los comentarios anteriores. Parece que mi respuesta fue muy superficiales. Creo que estamos de acuerdo en que podemos asumir que el origen es un elemento de la original conjunto abierto $U$. Como Henning Makholm señala, utilizamos arctan aplicado a la radio en coordenadas Polares para el mapa de nuestro potencialmente conjunto ilimitado $U$ a un conjunto abierto acotado $V$.
Ahora nos muestran que, en cualquier dirección y la distancia de la frontera de $V$
desde el origen depende continuamente en esa dirección.
Deje $v$ ser una dirección, es decir, vamos a $v$ ser un vector en $\mathbb R^n$ de la longitud de la $1$.
Primer caso: el rayo desde el origen en la dirección de la $v$ está contenido en $U$. En este caso, $U$ es ilimitado en el sentido de $v$. Desde $U$ es abierto, no es $\varepsilon>0$ de manera tal que el $\varepsilon$-bola alrededor del origen aún está contenido en $U$. Desde $U$ es convexa, el casco convexo de la unión de los rayos en la dirección de $v$ y el $\varepsilon$-ball es también contenido en $U$. Llamamos a este convexo conjunto abierto $C$.
Para cada $N>0$ el conjunto de elementos de $C$ que han distancia de al menos $N$ desde el origen está abierto. De ello se sigue que el conjunto de las direcciones $v'$ de manera tal que la rayo en dirección a $v'$ tiene elementos de $C$ de distancia de al menos $N$ desde el origen está abierto.
Pero esto implica que el mapa de asignar a cada dirección $v$ la distancia del límite de la transformada set $V$ al origen en esa dirección es en realidad continua en todas las direcciones en las que el conjunto original $U$ es ilimitado.
Segundo caso: el rayo desde el origen en la dirección $v$ no está contenida en
$U$, es decir, $U$ es limitada en el sentido de $v$.
Tenemos que mostrar que la distancia del límite de la transformada conjunto
$V$ en alguna dirección $v'$ es continua en a $v$.
Pero desde arctan es continua, es suficiente para mostrar la misma instrucción para
la distancia a la frontera de la serie original $U$.
Por lo tanto, vamos a $d$ ser la distancia de la frontera de $U$ desde el origen en la dirección de la $v$. Deje $\varepsilon>0$. Elija $x\in U$ en la dirección $v$ tal que $d-|x|<\varepsilon/2$. Para algunos $\delta>0$, $\delta$- bola alrededor de $x$ está contenido en $U$. El conjunto de las direcciones $v'$ de manera tal que el rayo en esa dirección se pasa a través de la bola de radio $\delta$ $x$ es un abierto conjunto de instrucciones que contengan $v$. De ello se deduce que en un conjunto abierto de las direcciones contiene $v$ la distancia de la frontera de $U$ al menos $d-\varepsilon$.
Ahora vamos a $x$ ser un punto en el rayo en la dirección de $v$$|x|>d$. Si podemos demostrar que $x$ no está en el cierre de $U$, entonces no es una bola alrededor de $x$ que es disjunta de a $U$ y vemos que hay un conjunto abierto de direcciones que contenga $v$ tal que para todas las direcciones $v'$ en el conjunto de la distancia de la frontera en dirección a $v'$ desde el origen es en la mayoría de los $|x|$. Esto muestra que el mapa de asignación de la distancia de la frontera de $U$ a la dirección es continua en a $v$ y hemos terminado.
Por lo que sigue siendo para mostrar que $x$ no está en el cierre de $U$.
Asumimos que es.
Deje $y$ ser el punto en el rayo en dirección a $v$ que satisface $|y|=d$.
$y$ está en el límite de $U$. A continuación,$|y|<|x|$.
Deje $B$ ser un open de bola alrededor del origen contenidas en $U$.
Podemos suponer que la $x\not in B$.
Ahora estoy agitando mis manos un poco, pero creo que esto debe quedar claro:
Hay algunos $\varepsilon>0$ tal que cuando se $|x-z|<\varepsilon$,
a continuación, $y$ se encuentra en el casco convexo $C_z$ de la unión de $B$$\{z\}$.
Ahora elija $z\in U$ tal que $|x-z|<\varepsilon$.
Ahora $y\in C_z$ y por la convexidad de $U$, $C_z\subseteq U$.
Pero $C_z\setminus\{z\}$ es una vecindad de a $y$.
Esto demuestra que $y$ no está en el límite de $U$, una contradicción.
Esto termina la prueba de la "continuidad de la ampliación". Espero que esto era comprensible.
2ª edición: no parece claro por qué el mapa de $d$ la asignación a cada dirección $v$ la distancia de la frontera de $V$ desde el origen en la dirección $v$ está bien definido. Para $v\in\mathbb R^n$ de la longitud de la $1$ (es decir, $v$ una dirección) vamos a
$$d(v)=\inf\{|x|:x\in\mathbb R^n\setminus V\wedge x/|x|=v\}.$$
Desde $V$ es acotado, esto está bien definido. Tomé eso como la definición de
"la distancia desde el origen de los límites de la $V$ en la dirección de $v$". En el "por lo que queda show"-el párrafo anterior se muestra que no hay punto de $x$ en la dirección de $v$ $d(v)<|x|$ es en el cierre de $V$.
(Estrictamente hablando, puedo demostrar esto por $U$ en lugar de $V$, y sólo en el caso de que el rayo en dirección a $v$ no está contenido en $U$. Pero si el rayo no está contenido en $U$, la arctan transformación conserva la propiedad que hemos demostrado para $U$. Si el rayo está contenida en $U$, $d(v)$ $\pi/2$ y
el punto de $\pi v/2$ es el único punto en el límite de $V$ en la dirección de $v$.
El problema con $U$ es que es ilimitado y, por tanto, podríamos estar tomando el infimum sobre el conjunto vacío. En este caso, la distancia sería de $\infty$.)
De ello se sigue que el único punto de $y$ en la dirección de $v$ $|y|=d(v)$ está en el límite de $V$. Por lo tanto cada rayo que pasa por el origen se cruza el límite de $V$ en exactamente un punto.
Bruce Evans
Puntos
287
Aquí es una relación bastante completa la prueba de la existencia de un diffeomorphism en la forma de estrella de caso. Este fue extraída desde antiguo, respuestas incompletas (no en matemáticas stackexchange) a esta pregunta. Conseguir un diffeomorphism es sólo un poco más difícil que conseguir un homeomorphism.
La idea es empujar apunta radialmente hacia afuera relativa el punto central de la estrella, de modo que el límite de alcance infinito y todos los problemas con la falta de suavidad de la original límite de desaparecer.
En primer lugar, si la región es ilimitado, mapa diffeomorphically para una región acotada por empujar puntos en radialmente relativa el punto estrella del uso de una buena dilatación de la función. Casi cualquier $C^\infty$ diffeomorhism de $[0,\infty)$ $[0,1)$va a hacer. Hacer que sea igual a la identidad del mapa cerca de $0$ a evitar complicaciones con la diferenciabilidad en el punto central de la estrella. Después de esto, podemos suponer que la región es limitada.
Una idea que no acaba de funcionar en una manera obvia es el uso de $r(x)$ = radio en la dirección $x$ (donde $x$ es en el círculo unitario) para empujar radialmente hacia el exterior mediante un adecuado modificación de $r$, ya que el $r$ puede ser discontinua.
Para evitar discontinuidades, de inicio en lugar de con $d(x)$ = distancia de $x$ para el complemento de la región, donde la $x$ está ahora en la región. Es un ejercicio fácil que $d$ es continua. $d$ no tiene la asignación de las propiedades que necesitamos. Ajustar por el promedio de la inversa de la misma a lo largo de los rayos de la estrella: $$e(x) = \int_0^1 1/d(s + t*(x-s))dt,$$ donde s es el punto central de la estrella. El final de la asignación (si sólo queremos un homeomorphism) es: $$m(x) = e(x)*(x-s).$$
Los principales puntos en $m$ ser un homeomorphism son: $m$ es de uno a uno debido a que $\|m\|$ es estrictamente creciente en cada rayo (debido a que $1/d > 0$); la imagen de $m$ es el total de $\mathbb R^n$ debido a $e(x)$ enfoques $\infty$ $x$ enfoques de la frontera a lo largo de cada rayo ($1/d$ sin duda lo hace, y un simple cálculo muestra que la integración se conserva este); a la inversa es continua porque el mapa es correcto (el factor de dilatación está delimitada desde abajo).
Modificaciones menores gire $m$ a una $C^\infty$ diffeomorphism. El por encima le da un continuo $d$ que es estrictamente positivo y enfoques $0$ , con la suficiente rapidez en el límite. Un fácil de partición de la unidad el argumento da un sentido estrictamente positiva $C^\infty$ $d$ que es menor que la continua $d$, por lo que tiene el mismo límite de la propiedad. $e$ $m$ son, obviamente, también se $C^\infty$. La inversa de a $m$ $C^\infty$ por la misma razón que $m$ es de uno a uno: el parcial derivado de la $\|m\|$ a lo largo de cada rayo es invertible porque es $1/d > 0$. El pleno de la derivada en $s$ $Dm(s) = e(s)1_n$ donde $1_n$ es el mapa de identidad (en el espacio de la tangente de) $\mathbb R^n$. El pleno derivados en otros puntos de $s$ es mejor calculada en polar coordina $(r,\theta$) donde $r = \|x-s\|$ $\theta$ es en el unidad de esfera: $$m(r,\theta) = (r*e(r,\theta), \theta);$$ $$Dm(r,\theta) = \left( \begin {array} {ccc} 1/d(r,\theta) & 0 \\ * & 1_{n-1} \end {array} \right).$$ Estos son, obviamente, es invertible en todas partes, por lo que la inversa de a $m$ es $C^\infty$.
Por el mapeo de Riemann teorema, la diffeomorphism puede ser elegido para ser analítica en la dimensión $2$. No sé si esto es cierto en cualquier dimensión. No hay ninguna manera obvia para adaptar la anterior para dar una analítica $m$ incluso en la dimensión $2$.
La integración truco es de una respuesta por Robin Chapman en mathforum en el año 2005. No podía encontrar ninguna mejor respuesta en internet. Pero este respuesta dice que el uso de cualquier liso estrictamente positivo de la función que se desvanece en el complemento para $d$. Esto tiene el siguiente fallo: $1/d$ podría no enfoque de $\infty$ en el límite con la suficiente rapidez para sus radial integrales también el enfoque de $\infty$. Por ejemplo, supongamos que la región de la unidad de disco y $d(x) = (1-\|x\|^2)^\frac 1 2$.
Esta pregunta es un ejercicio en muchos libros. Yo la vi por primera vez en Spivak del Geometría diferencial de Volumen 1 (ejercicio 25 p.322). Pero más tarde, Spivak da una prueba para un mucho más fácil de caso (Lema 11.17 p.592 es para cuando se $r$ es $C^\infty$; Lema 11.18 p.593 muestra que $r$ es siempre inferior semicontinuo (Spivak afirma superior smicontinuous, pero esto es al revés); el preámbulo Lema 11.19 p.593 dice que probar que es el caso general es "una proeza", así Lema 11.19 sólo es un isomorfismo de (De Rham) cohomology). Pero la integración truco parece hacer la hazaña pequeña.
Es el ejercicio 8 p.20 de Hirsch de la Topología Diferencial. Este ejercicio está protagonizada, pero no tiene pistas.
Otras respuestas de dar más referencias a los libros de texto. La mayoría de los libros no lo demuestran. Algunos dicen que es duro y hay otras que dan como ejercicio. Es el ejercicio 7 p.86 en Brocker y Janich la Introducción a la Topología Diferencial. Este ejercicio da una pista sobre el uso de la flujo radial de un campo vectorial. Queda claro que la integración truco es una versión especializada de este método general.
Felix Marin
Puntos
137
Hay un escollo que parece fácil de olvidar, así que creo que vale la pena añadir algo más de claridad. Este texto no es una respuesta, pero un problema con una interfaz intuitiva de la prueba.
Abajo es una imagen de un conjunto acotado en $\mathbb{R}^2$ (por supuesto, el juego es simplemente el interior de mi curva), la cual debo admitir que no es convexa, donde el escalado desde el origen, no es el resultado de una pelota (o al menos no homeomorphically). En este caso, el conjunto es en forma de estrella, pero no desde cualquier punto. Lo saqué de modo que el origen es un centro de la estrella de conformación, pero sólo apenas. Se puede ver que la "función de distancia" es o no una función es o no continua.
Si quieres probar esta pregunta por la ampliación de la frontera, por favor resolver mi problema. Me gustaría probar este:
Suponga que la función de distancia, cuando se define como el supremum de todas las distancias hasta el límite en alguna dirección (una función), tiene un incontinuity. Dibujar un $\varepsilon$-bola alrededor del origen, demostrar que existe un punto en que la pelota, que no es un centro para la estrella-shapedness del conjunto, contradiciendo la convexidad.
