A cualquier número entero positivo dado $m$ existe un número entero positivo $x,$ tal que $x^3+x+m^2$ es un cuadrado

Question

Dejemos que $m$ sea un número entero positivo. Demuestre que existe un número entero positivo $x$ tal que $x^3+x+m^2$ es un cuadrado.

Este problema no puedo tener ninguna idea, ¿Cómo probarlo?

Answer 1

La elección $$x=64m^6+8m^2$$ funciona.

Entonces $$x^3+x+m^2=(512m^9+96m^5+3m)^2.$$

Answer 2

Este problema consiste en encontrar ciertos puntos integrales en la curva elíptica $$E:y^2=x^3+x+m^2.$$ El enfoque habitual es encontrar primero los puntos racionales, y recoger los puntos integrales a partir de ellos.

En cuanto a los puntos racionales, el derecho de grupo de puntos en $E$ nos ayudará a generar más puntos racionales a partir de los dados, y hay fórmulas explícitas para hacerlo.

En esta respuesta, utilizo la interpolación geométrica en lugar de las fórmulas de adición para proporcionar más intuición. El hecho importante es que, dada una recta que pasa por dos puntos de $E$ se cruzará con $E$ en un tercer punto en general. Y si los dos primeros puntos son racionales, también lo es el tercero (Obsérvese que, con los puntos dados, no es necesario resolver la ecuación cúbica del tercero, sino utilizar la fórmula de Vieta para expresarla en términos de los dos primeros. De esta observación se deriva la racionalidad). Además, esto también es válido en la situación límite cuando los dos primeros puntos coinciden y la recta se convierte en la tangente de $E$ en ese momento.

Aquí comenzamos el cálculo. Al principio, tenemos el punto obvio $P=(0,m)\in E(\mathbb{Q})$ . Aunque también tenemos $-P=(0,-m)\in E(\mathbb{Q})$ , pero la línea conecta $P$ y $-P$ no producen nada más. Así que tenemos que considerar la tangente en $P$ .

Denote $F(x,y)=y^2-x^3-x-m^2$ entonces la tangente en $P$ viene dada por $$0=\frac{\partial F}{\partial x}\biggr|_P(x-x(P))+\frac{\partial F}{\partial y}\biggr|_P(y-y(P))=-x+2my-2m^2.$$ Únalo con la ecuación de $E$ para obtener la tercera intersección, será $-2P=(1/(4m^2),1/(8m^3)+m)$ . Es racional como se esperaba, pero no integral, por lo que debemos seguir adelante.

A continuación, calculamos la línea que pasa por $-2P$ y $-P$ $$(y(-2P)-y(-P))(x-x(-P))=(x(-2P)-x(-P))(y-y(-P)).$$ Se cruzará con $E$ en el tercer punto $3P=(8m^2+64m^6,512m^9+96m^5+3m)$ . Eso es lo que necesitamos para el problema.

Este enfoque parece ser sistemático, pero en realidad no se puede garantizar que funcione. De hecho, me sorprende que $3P$ podría ser integral en este problema, ya que $nP$ tiende a tener un denominador mucho más grande para las $n$ .

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EDITAR: Por el hecho de que $3P$ es integral mientras que $2P$ no lo es, creo que está relacionado con el diferente comportamiento de polinomios de división con índice par e impar.

Dado un punto $P$ en la curva elíptica $y^2=x^3+Ax+B$ su múltiple $mP$ puede expresarse como $$mP=\biggl(\frac{\phi_m(P)}{\psi_m(P)^2},\frac{\omega_m(P)}{\psi_m(P)^3}\biggr)$$ para ciertas secuencias de polinomios $\psi_m,\phi_m,\omega_m\in\mathbb{Z}[A,B,x,y]$ . Los cuatro primeros términos de $\psi_m$ son \begin{align} \psi_1&=1,\\ \psi_2&=2y,\\ \psi_3&=3x^4+6Ax^2+12Bx-A^2,\\ \psi_4&=4y(x^6+5Ax^4+20Bx^3-5A^2x^2-4ABx-8B^2-A^3).\\ \end{align} Se puede ver y demostrar que los términos de impar pertenecen a $\mathbb{Z}[A,B,x]$ mientras que los términos pares pertenecen a $y\cdot\mathbb{Z}[A,B,x]$ .

Volviendo a la pregunta, tenemos $A=1,x(P)=0$ que hace que $\psi_3(P)=-1$ mucho más pequeño de lo habitual. Por otro lado, $y=m$ hace $\psi_2(P)=2m$ no puede ser tan pequeño. Desde este punto de vista, el resultado parece razonable.

Answer 3

HInt: $$x^3+x+m^2=k^2\\x(x^2+1)=(k-m)(k+m)$$ como sabemos $x>0$ así que $x \leq x^2+1 $ también $$x>0 \to k^2>m^2 \to k+m>k-m$$ así que $$\begin{cases}x=k-m \\x^2+1=k+m \end{cases} \\or \\\begin{cases}x=1 \\x^2+1=(k+m)(k-m) \end{cases} $$